În analiza matematică, în special în , o integrală de suprafațăAlexandra Ciupa, Adrian Holhoș, Calcul integral: Culegere de probleme, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, 2011, cap. 6: Integrale de suprafață, accesat 2024-04-04 este o generalizare a integralelor multiple la integrarea pe suprafețe. Prin analogie, poate fi considerată o integrală dublă a integralei curbilinii. Pe o suprafață se poate integra un câmp scalar (adică o funcție de poziție care returnează ca valoare un scalar), sau un câmp vectorial (adică o funcție care returnează ca valoare un vector). Dacă o regiune nu este plată, atunci se spune că este o suprafață, așa cum se vede în imagine.
Integralele de suprafață au aplicații în fizică, în special cu teoriile electrodinamicii.
Integralele de suprafață ale câmpurilor scalare Fie un câmp scalar, vectorial sau tensorial definit pe o suprafață . Pentru a găsi o formulă explicită pentru integrala de suprafață a lui peste , trebuie să se parameterize prin definirea unui sistem de coordonate curbilinii pe , ca latitudinea și longitudinea pe o sferă. Fie o astfel de parametrizare , unde variază într-o anumită regiune în plan. Atunci integrala de suprafață este dată de
unde expresia dintre barele din partea dreaptă este valoarea produsului vectorial al derivatelor parțiale ale lui și este cunoscută ca suprafața elementului infinitezimal. Integrala de suprafață poate fi exprimată și în forma echivalentă
unde este determinantul primei forme fundamentale a parametrizării suprafeței r(s, t).
De exemplu, dacă se cere aria suprafeței graficului unei funcții scalare, de exemplu , avem
unde .
Deoarece și ,
care este formula standard a ariei suprafeței descrise astfel. Se poate recunoaște vectorul din penultima linie de mai sus ca vectorul normal la suprafață.
Datorită prezenței produsului vectorial, formulele de mai sus funcționează numai pentru suprafețe din spațiul tridimensional.
Aceasta poate fi văzută ca integrarea unei forme de volum riemanniene pe suprafața parametrizată, unde este dat de forma diferențială fundamentală de speța întâi a suprafeței.
Integralele de suprafață ale câmpurilor vectoriale 300pxO suprafață curbă cu un câmp vectorial care trece prin ea. Săgețile roșii (vectorii) reprezintă mărimea și direcția câmpului în diferite puncte de pe suprafață. 300pxSuprafață divizată în elemente mici printr-o parametrizare a suprafeței 200pxFluxul prin fiecare element este egal cu componenta normală (perpendiculară) a câmpului din fiecare element înmulțită cu aria . Componenta normală este egală cu produsul scalar al lui cu versorul normal (săgeata albastră) 300pxFluxul total prin suprafață este obținut prin adunarea pentru fiecare element. La limită, pe măsură ce elementele devin infinitezimal de mici, aceasta este integrala de suprafață Fie un câmp vectorial pe o suprafață , adică pentru fiecare din , v(r) este un vector.
Integrala lui v pe a fost definită în secțiunea anterioară. Presupunând acum că se dorește să se integreze doar componenta normală a câmpului vectorial peste suprafață, rezultatul fiind un scalar, numit de obicei „flux” care trece prin suprafață. De exemplu, fie un fluid care curge prin , astfel încât v(r) determină viteza fluidului la r. Fluxul este definit drept cantitatea de fluid care curge prin în unitatea de timp.
Această ilustrație implică faptul că, dacă câmpul vectorial este tangent la în fiecare punct, atunci fluxul este zero deoarece fluidul curge doar paralel cu , nici înăuntru, nici în afară. Aceasta implică și că dacă v nu curge doar de-a lungul , adică dacă v are atât o componentă tangențială, cât și una normală, atunci numai componenta normală contribuie la flux. Pe baza acestui raționament, pentru a găsi fluxul, trebuie luat produsul scalar al lui v cu versorul normal n la în fiecare punct, ceea ce va da un câmp scalar și se integrează câmpul obținut ca mai sus. Cu alte cuvinte, trebuie integrat v în raport cu elementul de suprafață vectorială , care este vectorul normal la în punctul dat, a cărui mărime este
Se obține relația
Produsul vectorial din partea dreaptă a acestei expresii este normal la suprafața (nu neapărat unitate) determinată de parametrizare. Această formulă definește integrala din stânga.
Se poate interpreta asta ca un caz particular de integrare de speța a 2-a, în care se identifică câmpul vectorial cu o formă de speța întâi și apoi se integrează pe suprafață. Acest lucru este echivalent cu integrarea peste suprafața imersă, unde este volumul indus de suprafață, obținut prin a metricii riemaninene a spațiului ambiant cu direcția normală la suprafață.
Integrale de suprafață ale formelor diferențiale de speța a doua Fie
o de speța a 2-a definită pe suprafața , și fie
o parametrizare care conservă orientarea lui cu în . Schimbând coordonatele de la la , formele diferențiale se transformă astfel:
Deci se transformă în , unde este determinantul a funcției de tranziție de la la . Transformarea celorlalte forme este similară.
Atunci, integrala de suprafață a lui pe este dată de
unde
este normala la suprafața elementului din .
Se observă că integrala de suprafață a acestei forme de speța a 2-a este aceeași cu integrala de suprafață a câmpului vectorial care are drept componente , și .
Note
Legături externe
Surface Integral, la MathWorld Surface Integral , Teorie și exerciții
Categorie:Calcul diferențial și integral cu variabile multiple Categorie:Suprafață Categorie:Suprafețe