În matematică un element de volum oferă un mijloc pentru integrarea unei funcții în raport cu volumul în diferite sisteme de coordonate precum coordonatele sferice sau polare. Astfel, un element de volum este o expresie a formei
unde sunt coordonatele, astfel încât volumul oricărei mulțimi poate fi calculat prin:
De exemplu, în coordonatele sferice , prin urmare .
Noțiunea de element de volum nu se limitează la trei dimensiuni: în două dimensiuni este adesea cunoscută sub numele de element de suprafață, iar în acest caz este util pentru a obține integrale de suprafață. La schimbări de coordonate, elementul de volum se modifică cu valoarea absolută a al transformării coordonatelor (prin schimbarea de variabilă). Acest fapt permite ca elementele de volum să fie definite ca un fel de măsură pe o varietate. Pe o orientabilă, un element de volum apare de obicei dintr-o : o de grad superior. Pe o varietate neorientabilă, elementul de volum este de obicei valoarea absolută a unei forme de volum (definită local).
Element de volum în spațiul euclidian În spațiul euclidian elementul de volum este dat de produsul diferențialelor coordonatelor carteziene
În diferite sisteme de coordonate ale formei , , , elementul de volum se schimbă corespunzător determinantului jacobian al schimbării de coordonate:
De exemplu, în coordonate sferice (convenționale)
determinantul jacobian este
ca urmare
Acesta poate fi văzut ca un caz particular al faptului că formele diferențiale se transformă printr-o transformare reciprocă ca
Element de volum al unui subspațiu liniar Fie al spațiului euclidian n-dimensional Rn care este generat de o colecție de vectori .
Pentru a găsi elementul de volum al subspațiului, este util să se cunoască faptul din algebra liniară că volumul paralelipipedului generat de este rădăcina pătrată a determinantului :
Orice punct din subspațiu poate primi coordonatele astfel încât
Într-un punct , dacă se formează un mic paralelipiped cu laturile , atunci volumul acelui paralelipiped este rădăcina pătrată a determinantului matricei Gram
Prin urmare, aceasta definește forma volumului în subspațiul liniar.
Element de volum al unei varietăți La o orientată n-dimensională, elementul de volum este o formă de volum egală cu al funcției constante a unității, :
Echivalent, elementul de volum este chiar tensorul Levi-Civita . Carroll, Sean. Spacetime and Geometry. Addison Wesley, 2004, p. 90 În coordonate,
unde este determinantul scris pentru sistemul de coordonate respectiv.
Note
Bibliografie
Vezi și Integrală de volum
Categorie:Calcul diferențial și integral cu variabile multiple Categorie:Teoria măsurii