upright=1.5|thumb|Diagrama de stelare a icosaedrului, cu triunghiul central marcat pentru icosaedrul originar The Fifty-Nine Icosahedra (în ) este o carte scrisă și ilustrată de H.S.M. Coxeter, P. Du Val, H.T. Flather și J.F. Petrie. Enumeră stelările icosaedrului regulat (convex, platonic), conform unui set de reguli propuse de J.C.P. Miller.
A fost publicată prima dată de Universitatea din Toronto în 1938, a urmat o a doua ediție de Springer-Verlag în 1982. A treia ediție, a lui Tarquin, din 1999 a inclus noi materiale de referință și fotografii de K. și D. Crennell.
Contribuțiile autorilor Regulile lui Miller Deși Miller nu a contribuit direct la carte, a fost un coleg apropiat al lui Coxeter și al lui Petrie. Contribuția sa este imortalizată în setul său de reguli pentru definirea formelor de stelate care ar trebui considerate „în mod corespunzător și distincte”:Coxeter, du Val ș.a., 1999, p. 15–16
(i) Fețele trebuie să se afle în douăzeci de plane, adică planele de delimitare ale icosaedrului regulat.
(ii) Toate părțile care compun fețele trebuie să fie aceleași în fiecare plan, deși pot fi destul de deconectate.
(iii) Părțile cuprinse în orice plan trebuie să aibă simetrie triunghiulară, cu sau fără reflexie. Acest lucru asigură simetria icosaedrică pentru întregul corp.
(iv) Părțile cuprinse în orice plan trebuie să fie toate „accesibile” în corpul completat (adică trebuie să fie în „exterior”. În anumite cazuri ar trebui să fie necesare modele de dimensiuni enorme pentru a vedea tot exteriorul). Cu un model de dimensiuni obișnuite, unele părți ale „exteriorului” ar putea fi explorate doar de o insectă târâtoare).
(v) Nu se iau în considerare cazurile în care părțile pot fi împărțite în două seturi, fiecare dând un corp cu la fel de multă simetrie ca întreaga figură. Dar se permite combinarea unei perechi enantiomorfe care nu au vreo parte comună (ceea ce de fapt apare într-un singur caz).
Regulile (i) până la (iii) sunt cerințe de simetrie pentru planele fețelor. Regula (iv) exclude găurile ascunse, ca să nu existe două stelări identice în exterior. Regula (v) previne orice compus format din stelări mai simple deconectate.
Coxeter Coxeter a fost principala forță motrice din spatele lucrării. El a efectuat analiza originală pe baza regulilor lui Miller, adoptând o serie de tehnici precum combinatorica și teoria grafurilor abstractă a căror utilizare într-un context geometric a fost atunci inedită.
El a observat că diagrama de stelare cuprindea multe segmente. Apoi a dezvoltat proceduri pentru manipularea combinațiilor regiunilor din plane adiacente, pentru a enumera formal combinațiile permise de regulile lui Miller.
right Graful său, reprodus alături, arată conectivitatea diferitelor fețe identificate în diagrama de stelare (vezi mai jos). Simbolurile grecești reprezintă seturi de alternative posibile:
λ poate fi 3 sau 4 μ poate fi 7 sau 8 ν poate fi 11 sau 12
Du Val Du Val a conceput o notație simbolică pentru a identifica seturile de „celule” (a nu se confunda cu 3-față) congruente, pe baza observației că acestea se află în „straturi” (în original în „cochilii”) în jurul icosaedrului originar. Pe baza acestui fapt, el a testat toate combinațiile posibile conform regulilor lui Miller, confirmând rezultatul abordării mai analitice a lui Coxeter.
Flather Contribuția lui Flather a fost indirectă: a făcut modele de carton pentru toate cele 59 de cazuri. Când l-a întâlnit prima dată pe Coxeter, el făcuse deja multe stelări, inclusiv câteva exemple care nu satisfăceau regulile lui Miller. El a continuat să realizeze toată seria de cincizeci și nouă de modele, care sunt păstrate în biblioteca matematică a Universității Cambridge. Biblioteca deține și câteva modele care nu satisfac regulile lui Miller, dar nu se știe dacă acestea au fost făcute de Flather sau de studenții de mai târziu ai lui Miller. Inchbald, G., Some lost stellations of the icosahedron, steelpillow.com, 11 July 2006. Retrieved 14 September 2017)
Petrie John Flinders Petrie a fost un prieten de-o viață cu Coxeter și avea o abilitate remarcabilă în vizualizarea geometriei cvadridimensionale. El și Coxeter lucraseră împreună la multe probleme matematice. Contribuția sa directă la cele cincizeci și nouă de icosaedre a fost setul rafinat de desene tridimensionale care oferă o mare parte din fascinația lucrării publicate.
Kate și David Crennell Pentru cea de-a treia ediție, Kate și David Crennell au revizuit textul și au redesenat figurile. Ei au adăugat și o secțiune de referință care conține tabele, diagrame și fotografii ale unora dintre modelele de la Cambridge (care la acea vreme erau considerate a fi ale lui Flather). Corecțiile aduse acestei ediții au fost publicate online. K. și D. Crennell, The Fifty-Nine Icosahedra, Fortran Friends. Retrieved 14 September 2017. Lista celor cincizeci și nouă de icosaedre thumb|upright=1.5|Diagrama de stelare cu seturile de fețe numerotate thumb|upright=0.65|Schema celulelor cu notația lui Du Val Înainte de Coxeter, doar Brückner și Wheeler înregistraseră seturi semnificative de stelări, deși câteva, cum ar fi marele icosaedru, erau cunoscute de mai mult timp. De la publicarea lui The 59..., Wenninger a publicat instrucțiuni despre realizarea unor modele; schema de numerotare folosită în cartea sa a devenit larg folosită, deși el a descris doar câteva stelări.
Note privind lista Dacă nu se specifică altfel, indexarea este după Crennell:
Crennell La indexarea numerotată adăugată ediției a treia de către Crennell, primele 32 de forme (indici 1–32) sunt forme cu simetrie de reflexie, iar ultimele 27 (indici 33–59) sunt forme chirale fiind enumerate doar formele pe dreapta. Lista folosește ordinea în care stelările sunt descrise în carte.
Celule În notația lui Du Val, fiecare strat este identificat cu caractere aldine, dinspre interior spre exterior: a, b, c, ..., h, unde a este icosaedrul originar. Unele straturi au două tipuri de celule, de exemplu, e se subdivide în e1 și e2. Setul f1 se subdivide în continuare în forme pe dreapta și pe stânga, respectiv f1 și f1 (italic). În cazul în care o stelare are toate celulele prezente în interiorul unui strat exterior, stratul exterior este scris cu majuscule, iar cel interior este omis, de exemplu a + b + c + e1 se scrie Ce1.
Fețe Toate stelările pot fi descrise printr-o diagramă de stelare. În diagrama prezentată aici culorile numerotate indică regiunile diagramei de stelare care trebuie să apară împreună ca o mulțime dacă se dorește să se mențină simetria icosaedrică completă. Diagrama are 13 astfel de mulțimi. Unele dintre acestea se subdivid în perechi chirale (nu sunt prezentate), permițând stelări cu simetrie de rotație, dar nu și de reflexie. În tabel, fețele care sunt văzute de dedesubt sunt indicate printr-un apostrof, de exemplu 3'.
Wenninger Indecșii și numele numerotate au fost alocate arbitrar de către editorul lui Wenninger, în funcție de apariția lor în cartea sa „Modele poliedrice” și nu au nicio legătură cu niciun șir matematic. Doar câteva dintre modelele sale erau de icosaedre. La el numele sunt date sub formă scurtă, „... a icosaedrului”.
Wheeler Wheeler și-a găsit figurile, sau „formele” icosaedrului, alegând segmente de dreaptă din diagrama de stelare. El a distins cu atenție acest lucru de procesul clasic de stelare al lui Kepler. Coxeter și colaboratorii săi au ignorat această distincție și s-au referit la toate drept stelări.
Brückner Max Brückner a realizat și fotografiat modele ale multor poliedre, dintre care doar câteva erau icosaedre. Taf. este o abreviere a lui Tafel („tabel”) din germană.
Observații Nr. 8 este uneori numit echidnaedru după o asemănare imaginară cu furnicarul spinos sau cu echidna. Această utilizare este independentă de descrierea de către Kepler a poliedrelor regulate stelate ca „echidnele” sale.
Tabelul celor cincizeci și nouă de icosaedre Unele imagini ilustrează icosaedrul imaginii în oglindă, cu celula f1 în loc de celula f1. Crennell Celule Fețe Wenninger Wheeler Brückner Observații Diagrama feței În 3D1 A 0 04Icosaedru 1 Icosaedrul Platonic 100px100px2 B 1 26Icosaedrutriakis2 Prima stelare a icosaedrului,micul icosaedru triambic100px100px3 C 2 23Compus de cinci octaedre 3 Compus de cinci octaedre regulat100px100px4 D 3 4 4 100px100px 5 E 5 6 7 100px100px6 F 8 9 10 27A doua stelare 19 A doua stelare a icosaedrului100px100px7 G 11 12 41Marele icosaedru 11 Marele icosaedru100px100px8 H 13 42Stelarea finală 12 Stelarea finală a icosaedrului sau Echidnaedru100px100px9 e1 3' 5 37A douăsprezecea stelare A douăsprezecea stelare a icosaedrului 100px100px10 f1 5' 6' 9 10 100px100px11 g1 10' 12 29A patra stelare 21 A patra stelare a icosaedrului100px100px12 e1f1 3' 6' 9 10 100px 100px13 e1f1g1 3' 6' 9 12 20 100px 100px14 f1g1 5' 6' 9 12 100px 100px15 e2 4' 6 7 100px 100px16 f27' 8 22 100px 100px17 g2 8' 9'11 100px 100px18 e2f2 4' 6 8 100px 100px19 e2f2g2 4' 6 9' 11 100px 100px20 f2g2 7' 9' 11 30A cincea stelare A cincea stelare a icosaedrului100px100px21 De1 4 5 32A șaptea stelare 10 A șaptea stelare a icosaedrului100px100px22 Ef1 7 9 10 25Compus de zece tetraedre 8 Compus de zece tetraedre regulat100px100px23 Fg1 8 9 12 31A șasea stelare 17 A șasea stelare a icosaedrului100px100px24 De1f1 4 6' 9 10 100px 100px25 De1f1g1 4 6' 9 12 100px 100px26 Ef1g1 7 9 12 28A treia stelare 9 Dodecaedru excavat100px100px27 De2 3 6 7 5 100px100px28 Ef2 5 6 8 18 100px100px 29 Fg2 10 11 33A opta stelare 14 A opta stelare a icosaedrului100px100px30De2f2 3 6 8 34A noua stelare 13 Icosaedru triambic medial sauMarele icosaedru triambic100px100px31 De2f2g2 3 6 9' 11 100px 100px32 Ef2g2 5 6 9' 11 100px 100px33 f1 5' 6 9 10 35A zecea stelare A zecea stelare a icosaedrului 100px100px34 e1f1 3 5 6 9 10 36A unsprezecea stelare A unsprezecea stelare a icosaedrului 100px100px35 De1f1 4 5 6 9 10 100px 100px36 f1g1 5' 6 9 10 12 100px 100px37 e1f1g1 3 5 6 9 10 12 39A paisprezecea stelare A paisprezecea stelare a icosaedrului 100px100px38 De1f1g1 4 5 6 9 10 12 100px 100px39 f1g2 5' 6 8 9 10 11 100px 100px40 e1f1g2 3 5 6 8 9 10 11 100px 100px41 De1f1g2 4 5 6 8 9 10 11 100px 100px42 f1f2g2 5' 6 7 9 10 11 100px 100px43 e1f1f2g2 3 5 6 7 9 10 11 100px 100px44 De1f1f2g2 4 5 6 7 9 10 11 100px 100px45 e2f1 4 5 6 7 9 10 40A cincisprezecea stelare A cincisprezecea stelare a icosaedrului 100px100px46 De2f1 3 5 6 7 9 10 100px 100px47 Ef15 6 7 9 1024 Compus de cinci tetraedre7(6: pe stânga)Compus de cinci tetraedre (pe dreapta)100px100px48e2f1g14 5 6 7 9 10 12 100px 100px49De2f1g13 5 6 7 9 10 12 100px 100px50Ef1g15 6 7 9 10 12 100px 100px51e2f1f24 5 6 8 9 1038A treisprezecea stelare A treisprezecea stelare a icosaedrului 100px100px52De2f1f23 5 6 8 9 10 100px 100px53Ef1f25 6 8 9 10 15(16: pe stânga) 100px 100px54e2f1f2g14 5 6 8 9 10 12 100px 100px55De2f1f2g13 5 6 8 9 10 12 100px 100px56Ef1f2g15 6 8 9 10 12 100px 100px57e2f1f2g24 5 6 9 10 11 100px 100px58De2f1f2g23 5 6 9 10 11 100px 100px59Ef1f2g25 6 9 10 11 100px 100px
Note
Bibliografie Brückner, Max (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. Leipzig: B.G. Treubner. . WorldCat English: Polygons and Polyhedra: Theory and History. Photographs of models: Tafel VIII (Plate VIII), etc. High res. scans. H.S.M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) The Fifty-nine Icosahedra, University of Toronto studies, mathematical series 6: 1–26. Third edition (1999) Tarquin Wenninger, Magnus J. (1983) Polyhedron models; Cambridge University Press, Paperback edition (2003). . A.H. Wheeler (1924) "Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Toronto, Vol. 1, pp 701–708.
Legături externe Example stellations of the icosahedron The fifty nine stellations of the regular icosahedron
Stellations of the icosahedron
George Hart, 59 Stellations of the Icosahedron - VRML 3D files.