În mecanica analitică, coordonatele generalizate reprezintă un set de parametri utilizați pentru a descrie starea unui sistem în . Acești parametri trebuie să determine în mod unic configurația sistemului în raport cu o stare de referință. , p. 397, §7.2.1 Selection of generalized coordinates Vitezele generalizate sunt derivatele temporale ale coordonatelor generalizate. Termenul „generalizat” este folosit pentru a le distinge de sensul obișnuit al noțiunii de coordonată, care se referă de regulă la coordonatele carteziene.
Un exemplu tipic de coordonată generalizată este descrierea poziției unui pendul prin unghiul pe care îl face cu verticala, în locul utilizării coordonatelor carteziene și ale masei.
Pentru un sistem fizic dat pot exista multiple alegeri posibile ale coordonatelor generalizate. În practică, acestea sunt alese astfel încât să simplifice formularea și rezolvarea ecuațiilor de mișcare ale sistemului. Dacă coordonatele sunt independente între ele, numărul coordonatelor generalizate independente este egal cu numărul de grade de libertate ale sistemului.
Coordonatele generalizate sunt asociate cu impulsurile (momentele) generalizate, formând împreună un set de în spațiul fazelor.
Constrângeri și grade de libertate
Coordonatele generalizate se aleg, în mod obișnuit, astfel încât să constituie numărul minim de coordonate independente care descriu configurația unui sistem, ceea ce simplifică formularea ecuațiilor lui Lagrange ale mișcării. Totuși, un set util de coordonate generalizate poate fi și dependent, caz în care acestea sunt legate prin una sau mai multe ecuații de constrângere.
Constrângeri olonome
Pentru un sistem de particule în spațiul tridimensional, vectorul de poziție al fiecărei particule se scrie în coordonate carteziene sub forma:
Oricare dintre acești vectori de poziție poate fi notat , unde indexează particulele. O este o ecuație de forma:
care leagă coordonatele spațiale ale particulei și reduce numărul de variabile independente. Constrângerea poate depinde explicit de timp, caz în care apare în ecuația de constrângere. La un moment dat, coordonatele nu mai sunt independente unele de altele; de exemplu, dacă și sunt cunoscute, atunci este determinată de ecuația constrângerii. Fiecare ecuație de acest tip reprezintă o constrângere. Dacă există constrângeri independente, vor exista ecuații de constrângere, fără a fi necesar ca fiecare particulă să aibă o constrângere asociată.
În absența constrângerilor, configurația sistemului este descrisă de coordonate carteziene. Prezența a constrângeri olonome independente permite eliminarea a coordonate, astfel încât numărul coordonatelor independente devine . (Într-un spațiu de dimensiune , configurația inițială necesită coordonate, iar după impunerea constrângerilor rezultă ). Este de dorit utilizarea numărului minim de coordonate independente care descriu complet configurația sistemului. Aceste variabile sunt numite coordonate generalizate și se notează . Ele pot fi grupate într-un vector:
care reprezintă un punct în spațiul de configurații al sistemului. Coordonatele generalizate sunt independente între ele și depind, în general, de timp. Din punct de vedere geometric, ele pot reprezenta lungimi de-a lungul unor curbe, lungimi de arc sau unghiuri; nu este necesar să fie coordonate carteziene sau coordonate ortogonale standard. Fiecărei coordonate generalizate îi corespunde un grad de libertate, astfel încât numărul coordonatelor generalizate este egal cu numărul de grade de libertate ale sistemului.
Dacă din ecuațiile de constrângere se pot identifica atâtea variabile independente câte grade de libertate are sistemul, acestea pot fi utilizate drept coordonate generalizate. Vectorul de poziție al particulei devine atunci o funcție de coordonatele generalizate (și, implicit, de timp),
iar coordonatele generalizate pot fi interpretate ca parametri care descriu mișcarea compatibilă cu constrângerile.
Derivatele temporale ale coordonatelor generalizate definesc vitezele generalizate:
(fiecare punct deasupra unei mărimi indică o derivată temporală). Vectorul viteză este derivata totală a lui în raport cu timpul:
astfel încât, în general, depinde atât de coordonatele generalizate, cât și de vitezele generalizate. Deoarece valorile inițiale ale coordonatelor și ale vitezelor generalizate pot fi specificate independent, acestea pot fi tratate ca variabile independente ale problemei.
Constrângeri neolonome Un sistem mecanic poate avea constrângeri care implică atât coordonatele generalizate, cât și derivatele lor temporale; astfel de constrângeri se numesc neolonome. O constrângere neolonoma de ordinul întâi are forma:
Un exemplu este o roată care se rostogolește fără alunecare sau o muchie de cuțit care impune o direcție particulară a vectorului viteză. Constrângerile neolonome pot include și derivate de ordin superior, cum ar fi accelerațiile generalizate.
Mărimi fizice în coordonate generalizate Energia cinetică Energia cinetică totală a sistemului reprezintă energia de mișcare a acestuia și este definită prin:
unde „·” denotă produsul scalar. Energia cinetică este o funcție a vitezelor , nu a coordonatelor în sine. O relație importantă este:
Aceasta arată că, în general, energia cinetică este o funcție de coordonatele generalizate, vitezele generalizate și, eventual, de timp dacă și constrângerile depind explicit de timp, adică .
Dacă constrângerile sunt independente de timp, atunci derivatele parțiale în raport cu timpul sunt nule, iar energia cinetică devine o de gradul al doilea în vitezele generalizate.
În cazul constrângerilor independente de timp, expresia de mai sus este echivalentă cu pătratul al traiectoriei particulei :
Împărțind la se obține viteza la pătrat a particulei . Prin urmare, pentru constrângeri independente de timp, cunoașterea elementului de linie permite determinarea rapidă a energiei cinetice și, implicit, a lagrangianului.
Este utilă ilustrerea acestor relații în sisteme de coordonate curbilinii frecvent utilizate. În coordonate polare :
În coordonate cilindrice :
În coordonate sferice :
Impulsuri generalizate Impulsul generalizat (sau impulsul conjugat canonic) asociat coordonatei este definit prin:
Dacă lagrangianul nu depinde explicit de coordonata , atunci, din ecuațiile Euler–Lagrange, rezultă că impulsul generalizat corespunzător este o , deoarece derivata sa temporală este nulă; prin urmare, impulsul rămâne constant în timp:
Exemple Mărgea pe un fir thumb|Mărgea constrânsă să se deplaseze pe un fir fără frecare. Firul exercită o forță de reacțiune asupra mărgelei pentru a o menține pe traiectorie. Forța neconstrânsă este, în acest caz, gravitația. Poziția inițială a firului poate conduce la mișcări diferite ale mărgelei. Pentru o mărgea care alunecă pe un fir fără frecare, supusă numai gravitației într-un spațiu bidimensional, constrângerea poate fi exprimată sub forma , unde poziția mărgelei este , iar parametrul reprezintă lungimea arcului de-a lungul curbei, măsurată de la un punct de referință de pe fir. Această alegere a coordonatei generalizate este adecvată sistemului, deoarece este suficientă o singură coordonată în loc de două: poziția mărgelei poate fi parametrizată printr-o singură variabilă, . Ecuația constrângerii leagă coordonatele și , astfel încât una dintre ele este determinată de cealaltă. Forța de constrângere este reacțiunea firului, care menține mărgeaua pe traiectorie, iar forța aplicată neconstrânsă este gravitația.
Dacă firul își modifică forma în timp (de exemplu prin îndoire), atunci ecuația constrângerii și poziția particulei devin:
ambele depinzând explicit de timpul , deoarece coordonatele se modifică odată cu forma firului. Timpul apare implicit în coordonate și explicit în ecuația de constrângere.
Pendulul simplu thumb|Pendul simplu. Deoarece tija este rigidă, poziția masei este constrânsă de ecuația . Forța de constrângere este tensiunea din tijă, iar forța neconstrânsă este gravitația. thumb|Modelul dinamic al unui pendul simplu Relația dintre coordonatele generalizate și coordonatele carteziene în descrierea mișcării unui sistem mecanic poate fi ilustrată prin analiza dinamicii constrânse a unui pendul simplu. Richard Fitzpatrick, Newtonian Dynamics
Un pendul simplu constă dintr-o masă legată de un punct de suspensie și constrânsă să se deplaseze pe un cerc de rază . Poziția masei este descrisă de vectorul de poziție în planul mișcării, unde este orientată pe verticală. Coordonatele și sunt legate prin ecuația cercului:
care impune constrângerea asupra mișcării masei . Această relație implică și o constrângere asupra componentelor vitezei:
Se introduce apoi parametrul unghiular , care descrie poziția masei față de direcția verticală. Coordonatele carteziene pot fi exprimate ca:
Utilizarea lui pentru descrierea configurației elimină necesitatea impunerii explicite a constrângerii cercului.
Forța gravitațională care acționează asupra masei este:
unde este accelerația gravitațională.
Lucrul mecanic virtual al gravitației de-a lungul traiectoriei este:
Variația poziției poate fi exprimată fie în coordonate carteziene, fie în funcție de :
Rezultă:
Coeficientul lui definește forța generalizată asociată coordonatei generalizate :
Energia cinetică a masei este:
Forma lui D'Alembert a principiului lucrului virtual, exprimată în coordonate carteziene, este:
Rezultă sistemul:
Folosind coordonata generalizată , ecuația de mișcare devine:
adică:
sau
Deoarece sistemul are un singur grad de libertate, formularea în coordonate generalizate conduce la o singură ecuație de mișcare.
Pendulul dublu thumb|Pendul dublu Avantajele utilizării coordonatelor generalizate devin evidente în analiza unui pendul dublu. Pentru cele două mase , vectorii de poziție sunt , care satisfac constrângerile:
Formularea lagrangiană în coordonate carteziene conduce la șase ecuații pentru variabilele și multiplicatorii lui Lagrange .
Introducând coordonatele generalizate unghiulare 1,2, pozițiile devin:
Această alegere reduce problema la două grade de libertate și conduce direct la ecuațiile Euler–Lagrange în coordonatele .
Pendul sferic thumb|Pendul sferic: unghiuri și viteze Pentru un exemplu tridimensional, se consideră un de lungime constantă , liber să oscileze în orice direcție sub acțiunea gravitației. Constrângerea este:
iar poziția masei poate fi scrisă ca:
unde sunt unghiurile sferice. Deoarece masa se deplasează pe suprafața unei sfere, sunt necesare doar două coordonate generalizate. Ecuația de constrângere leagă coordonatele , astfel încât una este determinată de celelalte două, iar mișcarea poate fi descrisă complet prin .
Coordonatele generalizate și lucrul mecanic virtual Principiul lucrului mecanic virtual afirmă că, dacă un sistem se află în echilibru static, lucrul mecanic virtual al forțelor aplicate este nul pentru orice deplasare virtuală a sistemului compatibilă cu constrângerile. Altfel spus, pentru orice variație . Când este formulat în coordonate generalizate, acest principiu este echivalent cu condiția ca forțele generalizate să fie nule pentru orice deplasare virtuală, deci .
Fie forțele care acționează asupra sistemului, , aplicate în punctele cu coordonatele carteziene . Atunci lucrul mecanic virtual corespunzător unei deplasări virtuale față de poziția de echilibru este dat de:
unde reprezintă deplasările virtuale ale punctelor de aplicare ale forțelor.
Presupunând că fiecare depinde de coordonatele generalizate , se poate scrie:
și
Termenii:
sunt forțele generalizate care acționează asupra sistemului. Kane T. R. Kane and D. A. Levinson, Dynamics: theory and applications, McGraw-Hill, New York, 1985 arată că aceste forțe generalizate pot fi exprimate și în funcție de vitezele punctelor de aplicare ale forțelor:
unde este viteza punctului de aplicare al forței .