miniatura|upright=1.5| ale curgerii potențiale în jurul unui la un unghi de atac de 11°, cu tuburile de curebt superioare și inferioare identificate. Curgerea este bidimensională, iar profilul aerodinamic are o lungime infinită. În dinamica fluidelor curgerea potențială sau curgerea irotațională se referă la descrierea unei curgeri a unui fluid fără vorticitate. Această descriere este tipică pentru cazul în care viscozitatea este neglijabilă, adică pentru un fluid ideal și în absența vârtejurilor.
Curgerea potențială descrie câmpul de viteze ca fiind gradientul unei funcții scalare: potențialul vitezei. Ca rezultat, o curgere potențială este caracterizată de un care este o aproximare validă pentru diverse aplicații. Irotaționalitatea curgerii potențiale rezultă din faptul că rotorul gradientului unui câmp scalar este întotdeauna nul.
În cazul unei curgeri incompresibile, potențialul vitezei satisface ecuația lui Laplace, iar este aplicabilă. Totuși, curgerile potențiale au fost utilizate și pentru a descrie curgerile compresibile și Abordarea curgerii potențiale apare în modelarea atât a curgerilor staționare, cât și a celor nestaționare.
Aplicațiile curgerii potențiale cuprind: câmpul de curgere exterior pentru profile aerodinamice, valuri, electroosmoză și Pentru curgeri (sau părți ale acestora) cu efecte puternice de vârtej, aproximarea curgerii potențiale nu este aplicabilă. În zonele de curgere în care se știe că vârtejul este important, cum ar fi siajele și straturile limită, teoria curgerii potențiale nu poate furniza predicții rezonabile ale curgerii.Batchelor (1973) pp. 378–380 Din fericire, există adesea zone mari ale unei curgeri în care ipoteza de irotaționalitate este valabilă, motiv pentru care curgerea potențială este utilizată pentru diverse aplicații, cum ar fi: aripile avioanelor, curgerea apelor subterane, acustică, valuri și electroosmoză.
Descriere și caracteristici miniatura|O curgere potențială este construită prin suprapunerea de simple și observarea rezultatului. dreapta|miniatura|Linii de curent pentru curgerea potențială incompresibilă în jurul unui cilindru circular, într-o curgere uniformă. În curgerea potențială sau irotațională, câmpul de vorticitate este zero, adică
unde este câmpul de viteze și este câmpul de vorticitate. Ca orice câmp vectorial fără vârtejuri, câmpul de viteze poate fi exprimat ca gradientul unui anumit scalar, să zicem care se numește potențialul vitezei, deoarece rotorul gradientului este întotdeauna nul. Prin urmare,Batchelor (1973) pp. 99–101
Potențialul vitezei nu este definit în mod unic, deoarece i se poate adăuga o funcție arbitrară de timp, să zicem , fără a afecta cantitatea fizică relevantă care este . Neunicitatea este de obicei eliminată prin precizarea adecvată a condițiilor inițiale sau a condițiilor la limită satisfăcute de și, ca atare, procedura poate varia de la o problemă la alta.
În curgerea potențială, în jurul oricărei curbe simple conexe este nulă. Acest lucru poate fi demonstrat folosind teorema lui Stokes,
unde este elementul de linie pe curbă și este elementul de suprafață al oricărei suprafețe delimitate de curbă. În domeniul multiplu conex (să zicem, în jurul unei curbe care înconjoară un corp solid bidimensional sau în jurul unei curbe care înconjoară un tor tridimensional) sau în prezența vârtejurilor concentrate (să zicem, în așa-numitele sau vârtejuri punctuale sau în inele de fum), circulația nu trebuie să fie zero. În primul caz teorema lui Stokes nu se poate aplica, iar în al doilea este diferit de zero în regiunea delimitată de curbă. În jurul unei curbe care înconjoară un cilindru solid infinit cu care curba se învârte de ori:
unde este o constantă ciclică. Acest exemplu aparține unui spațiu dublu conex. Într-un spațiu -tuplu conex există astfel de constante ciclice, și anume,
Curgere incompresibilă În cazul unei curgeri incompresibile – de exemplu a unui lichid sau a unui gaz la numere Mach mici; dar nu pentru undele sonore – viteza are divergența zero:
Substituind aici rezultă că satisface ecuația lui Laplace:
unde este operatorul Laplace (uneori scris și ). Deoarece soluțiile ecuației lui Laplace sunt funcții armonice, fiecare funcție armonică reprezintă o soluție a curgerii potențiale. După cum este evident, în cazul incompresibilității, câmpul de viteze este determinat complet din cinematica sa: ipotezele de irotaționalitate și divergență zero a curgerii. Dinamica, în legătură cu ecuațiile impulsului, trebuie aplicată doar ulterior, dacă cineva este interesat să calculeze câmpul de presiuni: de exemplu, pentru curgerea în jurul profilelor aerodinamice prin utilizarea legii lui Bernoulli.
În curgerile incompresibile, contrar concepției greșite comune, curgerea potențială satisface într-adevăr ecuațiile complete Navier–Stokes, nu doar ecuațiile lui Euler, deoarece termenul vâscos
are valoarea zero. Este incapacitatea curgerii potențiale de a satisface condițiile limită necesare, în special în apropierea frontierelor solide, ceea ce o invalidează în reprezentarea câmpului de curgere necesar. Dacă curgerea potențială satisface condițiile necesare, atunci ea este soluția necesară a ecuațiilor Navier–Stokes incompresibile.
Când este bidimensională, cu ajutorul funcției armonice și a funcției sale armonice conjugate (funcția de curent), curgerea potențială incompresibilă se reduce la un sistem foarte simplu care este analizat folosind analiză complexă (vezi mai jos).
Curgere compresibilă Curgere staționară Teoria curgerii potențiale poate fi utilizată și pentru modelarea curgerii compresibile irotaționale. Derivarea ecuației de guvernare pentru din ecuația lui Euler este destul de simplă. Ecuațiile de continuitate și de impuls (pentru curgere potențială) pentru curgeri staționare sunt:
unde ultima ecuație rezultă din faptul că entropia este constantă pentru un element de fluid și că pătratul vitezei sunetului este . Prin eliminarea lui între cele două ecuații de guvernare rezultă:
Versiunea incompresibilă apare la limita Substituind aici rezultă Landau, L.D., Lifshitz, E.M. (2013). Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier. Section 114, page 436.
unde este exprimat ca funcție de mărimea vitezei Pentru un unde este coeficientul de transformare adiabatică, iar este În bidimensional, ecuația se simplifică la:
Valabilitate: În forma actuală, ecuația este valabilă pentru orice curgere potențială ideală, indiferent dacă curgerea este subsonică sau supersonică (de exemplu, ). Totuși, în curgeri supersonice și transsonice pot apărea unde de șoc care pot introduce entropie și vârtej în curgere, făcând curgerea rotațională. Totuși, există două cazuri în care curgerea potențială prevalează chiar și în prezența undelor de șoc, care sunt explicate prin ecuația impulsului (nu neapărat potențială) scrisă în următoarea formă:
unde este entalpia masică, este câmpul de vorticitate, este temperatura și este entropia masică. Deoarece în fața undei de șoc de bot avem o curgere potențială, ecuația lui Bernoulli arată că este constantă, ceea ce este de asemenea constantă pe întreaga undă de șoc () și prin urmare se poate scrie:
1) Când unda de șoc este de intensitate constantă, discontinuitatea entropiei de-a lungul undei de șoc este, de asemenea, constantă, adică prin urmare producția de vârtejuri este nulă. Undele de șoc la marginea ascuțită a unei pene bidimensionale sau a unui con tridimensional () au intensitate constantă.
2) Pentru undele de șoc slabe, saltul de entropie de-a lungul undei de șoc este o cantitate de ordinul al treilea în termeni de intensitatea undei de șoc, prin urmare poate fi neglijat. Undele de șoc în corpurile subțiri sunt aproape paralele cu corpul și sunt slabe.
Curgeri aproape unidirecționale: Când curgerea este predominant unidirecțională cu abateri mici, cum ar fi în curgerea trecută de corpuri subțiri, ecuația completă poate fi simplificată în continuare. Fie curentul principal și se iau în considerare abaterile mici de la acest câmp de viteze. Potențialul vitezei corespunzător poate fi scris ca unde caracterizează abaterea mică de la curgerea uniformă și satisface versiunea liniarizată a ecuației complete. Aceasta este dată de:
unde este numărul Mach constant care corespunde curgerii uniforme. Această ecuație este valabilă cu condiția ca să nu fie aproape de unitate. Când este mic (curgere transsonică), următoarea ecuație este neliniară:
unde este valoarea critică a 1942, Landau, L.D. "On shock waves" J. Phys. USSR 6 229-230 Thompson, P. A. (1971). A fundamental derivative in gasdynamics. The Physics of Fluids, 14(9), 1843-1849 și este volumul masic. Curgerea transsonică este complet caracterizată de parametrul unic , care pentru gazul politropic are valoarea . Prin transformarea ecuația transsonică bidimensională devine
Curgere nestaționară Ecuațiile de continuitate și de impuls (pentru curgere potențială) pentru curgeri nestaționare sunt:
Integrala ecuației impulsului (pentru curgere potențială) este:
unde este o funcție arbitrară. Fără a pierde generalitatea, se poate lua deoarece nu este definit în mod unic. Combinând aceste ecuații se obține:
Substituind aici rezultă:
Curgeri aproape paralele: Ca și înainte, pentru curgeri aproape paralele, se poate scrie (după introducerea unui timp recalculat ):
cu condiția ca numărul Mach constant să nu fie aproape de unitate. Când este mic (curgere transsonică), avem următoarea ecuație neliniară:
Unde sonore: În undele sonore, mărimea vitezei (sau numărul Mach) este foarte mică, deși termenul nestaționar este acum comparabil cu ceilalți termeni principali din ecuație. Astfel, neglijând toți termenii pătratici și de ordin superior și observând că în aceeași aproximare, este o constantă (de exemplu, în gazul politropic ), avemLamb (1994) §287, pp. 492–495
care este o ecuație a undei liniară pentru potențialul vitezei Din nou, partea oscilatorie a vectorului de viteză este legată de potențialul vitezei prin în timp ce ca înainte este operatorul Laplace și este viteza medie a sunetului în De reținut că în această aproximare și părțile oscilatorii ale presiunii și densității satisfac individual ecuația de undă.
Aplicabilitate și limitări