În relativitatea specială, un cvadrivector (numit uneori vector Lorentz)Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford este un obiect matematic cu patru componente care se transformă într-un mod specific sub acțiunea transformărilor Lorentz. Mai precis, un cvadrivector este un element al unui spațiu vectorial cvadridimensional care realizează reprezentarea vectorială standard a grupului Lorentz.
Un cvadrivector diferă de un vector euclidian prin modul în care este definit produsul său scalar (sau „mărimea”), acesta fiind determinat de metrica Minkowski, și nu de o metrică euclidiană. Transformările care păstrează acest produs scalar sunt transformările Lorentz, care includ și transformările Lorentz de tip boost (schimbări de sistem de referință inerțial aflate în mișcare relativă uniformă).
Cvadrivectorii descriu, de exemplu, poziția în spațiu-timpul Minkowski, unei particule , într-un punct al spațiu-timpului, precum și alte mărimi fizice fundamentale din teoria relativității și din teoria cuantică a câmpurilor.
Grupul Lorentz poate fi reprezentat prin matrici reale 4×4, notate . Acțiunea unei transformări Lorentz asupra unui cvadrivector general (ca în exemplele de mai sus), considerat ca un vector coloană al componentelor sale într-un sistem de referință inerțial, este dată de relația
unde componentele marcate cu prim se referă la noul sistem de referință. În mod corespunzător, există și , precum , și . Aceștia se transformă conform relației
unde indică transpusa matricei. Această lege de transformare diferă de cea a componentelor contravariante și este asociată a reprezentării vectoriale standard. În relativitatea specială, componentele covariante și contravariante ale unui cvadrivector sunt legate între ele prin tensorul metric Minkowski; ambele descriu același obiect geometric în spațiu-timp.
Un exemplu de obiect cu patru componente care se transformă covariant sub transformările Lorentz, dar nu este un cvadrivector, este . Deși are patru componente, bispinorul nu se transformă ca un cvadrivector, ci conform unei alte reprezentări a grupului Lorentz decât reprezentarea vectorială standard. În acest caz, legea de transformare este de forma , unde este o matrice diferită de . Considerații similare se aplică și altor obiecte relativiste bine definite, precum scalari, , tensori și spinori-tensori.
Acest articol tratează cvadrivectorii în contextul relativității speciale. Deși noțiunea de cvadrivector poate fi extinsă și la relativitatea generală, unele dintre proprietățile și relațiile prezentate aici necesită modificări în cadrul unei teorii cu spațiu-timp curbiliniu.
Notație În acest articol se folosesc următoarele convenții de notație: litere aldine mici pentru vectori tridimensionali, pălării pentru vectori unitari tridimensionali, litere aldine majuscule pentru cvadrivectori (cu excepția gradientului cvadrimensional) și .
Algebră cu cvadrivectori
Cvadrivectori într-o bază cu valori reale Un cvadrivector A este un vector cu o componentă „temporală" și trei componente „spațiale" și poate fi scris în mai multe notații echivalente:Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (BSA), 2006, unde A α sunt componentele ale cvadrivectorului, iar Eα sunt vectorii de bază contravarianți ai spațiului vectorial cvadridimensional. Ambele sunt necesare pentru a defini un vector; atunci când Aα apare singur, el desemnează strict componentele cvadrivectorului într-o bază aleasă.
Indicii superiori indică componente contravariante. Convenția standard este ca indicii latini să desemneze componentele spațiale (i = 1, 2, 3), iar indicii greci să desemneze atât componenta temporală, cât și pe cele spațiale (α = 0, 1, 2, 3), fiind utilizată a lui Einstein. Separarea explicită dintre componenta temporală și cele spațiale este utilă în calculul contracțiilor cu alte mărimi tensoriale, de exemplu la determinarea invarianților Lorentz sau la operațiile de .
În relativitatea specială, baza spațială E1, E2, E3 și componentele A1, A2, A3 sunt adesea alese cartezian, caz în care cvadrivectorul poate fi exprimat folosind coordonatele temporale și spațiale standard:Totuși, se pot utiliza și alte sisteme de coordonate, precum coordonatele polare sferice:sau coordonate polare cilindrice:sau alte sau chiar coordonate curbilinii generale.
Este important de remarcat că etichetele coordonatelor sunt subscrise doar ca nume ale coordonatelor, nu ca indici care iau valori numerice. În relativitatea generală, utilizarea coordonatelor curbilinii și a bazelor locale devine esențială.
Din punct de vedere geometric, un cvadrivector poate fi interpretat ca o „săgeată" în spațiu-timp, nu doar în spațiul tridimensional. În relativitate, astfel de săgeți sunt reprezentate în mod obișnuit în cadrul (sau diagrame spațiu-timp). În acest articol, termenul „vector" va fi folosit, atunci când contextul este clar, cu sensul de cvadrivector.
De asemenea, este frecvent ca vectorii de bază să fie reprezentați sub formă de vectori coloană, caz în care cvadrivectorul este exprimat printr-o coloană a componentelor sale:astfel încât:
Relația dintre componentele covariante și contravariante este stabilită prin intermediul Minkowski notat η, care permite ridicarea și coborârea indicilor:și, în diferite notații echivalente:unde Eα sunt (formele duale). În coordonate ortogonale metrica este adesea diagonală, însă acest lucru nu mai este valabil în coordonate curbilinii generale.
Bazele covariante pot fi reprezentate prin vectori linie:astfel încât:
Motivația acestor convenții constă în faptul că produsul scalar Minkowski al cvadrivectorilor este un scalar invariant Lorentz, proprietate esențială în relativitatea specială.
Transformarea Lorentz Considerând două sisteme de referință inerțiale (eventual rotite sau în mișcare relativă), un cvadrivector este definit ca o mărime care se transformă conform unei transformări Lorentz, reprezentată printr-o matrice Λ:
În notația cu indici, componentele contravariante și covariante se transformă conform regulilor standard corespunzătoare acțiunii matricii Lorentz și a inversei sale transpuse:
Proprietatea definitorie a transformărilor Lorentz este că ele preservează metrica Minkowski:ceea ce garantează că produsul scalar Minkowski dintre doi cvadrivectori rămâne invariant la transformări Lorentz. Transformările Lorentz formează un grup Lie, notat , iar subgrupul său conex la identitate este . Aceste grupuri au proprietatea că orice compoziție de transformări Lorentz este, la rândul ei, o transformare Lorentz.
Rotații pure în jurul unei axe arbitrare Pentru două cadre de referință care diferă doar printr-o rotație spațială cu un unghi fix în jurul unei axe definite de un versor unitar, transformarea Lorentz asociată nu implică amestecarea componentelor temporale cu cele spațiale:
Matricea Λ are componentele date de:
În acest caz, componenta temporală a cvadrivectorului rămâne neschimbată, iar componentele spațiale sunt rotite conform regulilor obișnuite ale rotațiilor tridimensionale. Această proprietate reflectă faptul că rotațiile spațiale nu generează dilatări temporale relativiste.
În situația particulară a unei rotații în jurul axei z, partea spațială a matricei Lorentz se reduce la matricea de rotație tridimensională corespunzătoare, aplicată componentelor spațiale ale cvadrivectorului, în timp ce componenta temporală rămâne invariantă:
Transformări Lorentz de tip boost într-o direcție arbitrară dreapta|miniatura|300x300px| Configurația standard a sistemelor de coordonate; pentru un impuls Lorentz în direcția x.
Pentru două cadre de referință inerțiale care se deplasează unul față de celălalt cu o viteză relativă tridimensională constantă v (nu cu o cvadriviteză; a se vedea mai jos), este convenabil să se introducă viteza relativă exprimată în unități ale vitezei luminii c, sub forma vectorului adimensional β:
În absența rotațiilor spațiale între cadre, matricea transformării Lorentz Λ are componentele date de:Gravitation, J.B. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISAN 0-7167-0344-0unde factorul Lorentz γ este definit prin iar este .
Spre deosebire de cazul rotațiilor spațiale pure, în transformările Lorentz de tip boost componentele temporale și cele spațiale ale cvadrivectorilor sunt amestecate. Această proprietate este o consecință a legării timpului și spațiului în teoria relativității.
Pentru cazul particular al unui boost exclusiv în direcția axei x, matricea Lorentz se reduce la forma:Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, B.G. Smith, Wiley, 2009, ISAN 978-0-470-01460-8Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (ASB), 2006, ISAN 0-07-145545-0
Dacă este utilizată , o mărime pentru boost-uri coliniare și exprimată prin funcții hiperbolice, atunci factorul Lorentz este dat de relația , iar viteza relativă se exprimă ca .
Această formulare evidențiază faptul că un boost poate fi interpretat geometric drept o în spațiu-timpul Minkowski cvadridimensional, analogă rotațiilor circulare din spațiul tridimensional euclidian. Spre deosebire de adunarea vitezelor (care nu este liniară), rapiditățile se adună în mod liniar: pentru boost-uri consecutive în aceeași direcție.
Proprietatea de necomutativitate: Doi boosteri în direcții diferite NU comută, adică ordinea aplicării lor contează. Rezultatul a doi boosteri succesivi în direcții diferite include o rotație suplimentară, cunoscuta sub numele de , care este importantă în interacțiunile spin-orbită și precesia de spin.
Proprietăți
Liniaritate Cvadrivectorii au aceleași proprietăți de liniaritate ca vectorii euclidieni tridimensionali. Aceștia pot fi adunați componentă cu componentă:
În mod similar, înmulțirea cu un scalar λ este definită componentă cu componentă
Operația de scădere este definită ca adunare cu inversul aditiv și se aplică, de asemenea, componentă cu componentă:
Cvadrivectorii transformați sub transformări Lorentz rămân liniari în operații de adunare și înmulțire scalară, garantând compatibilitatea acestor operații cu covarianta relativistă.
Tensorul Minkowski și produsul scalar
Aplicând tensorul metric Minkowski la doi cvadrivectori și , produsul lor scalar poate fi exprimat, folosind notația lui Einstein, ca:
În relativitatea specială, produsul scalar al vectorilor de bază este determinat de metrica Minkowski, și nu de delta Kronecker, ca în spațiul euclidian. Pentru claritate, această definiție poate fi rescrisă în formă matriceală:
Metrica Minkowski nu este o metrică euclidiană, deoarece este (a se vedea signatura metrică). Tensorul metric permite ridicarea și coborârea indicilor, astfel încât produsul scalar poate fi exprimat în mai multe forme echivalente, în funcție de natura componentelor covariante sau contravariante ale cvadrivectorilor:
Aplicând tensorul Minkowski unui cvadrivector A cu el însuși, se obține care poate fi interpretată, în funcție de semnul și signatura metricii, ca pătratul sau negativul pătratului „lungimii" cvadrivectorului.
Baza standard, signatura (+−−−) În convenția cu signatura metrică , evaluarea explicită a produsului scalar conduce la , respectiv la forma matriceală asociată.
Un rezultat fundamental al relativității speciale este faptul că produsul scalar Minkowski a doi cvadrivectori este invariant Lorentz. Astfel, dacă produsul scalar are valoarea C într-un sistem de referință și valoarea C′ într-un alt sistem, atunci aceste valori sunt egale. Aceasta poate fi demonstrată din proprietatea de conservare a metricii sub transformări Lorentz:
unde s-a utilizat relația = , care definește transformările Lorentz. Deși componentele cvadrivectorilor se modifică de la un sistem de referință la altul, valoarea produsului scalar rămâne aceeași pentru toți observatorii inerțiali.
În această signatură metrică, cvadrivectorii pot fi clasificați după signul : Cvadrivector de tip temporal: < 0 (legătura cauzală posibilă)