În teoria numerelor, valuarea ă sau ordinul -adic al unui număr întreg este exponentul celei mai mari puteri a numărului prim care îl divide pe . Se notează cu . Echivalent, este exponentul la care apare în descompunerea în factori primi a lui .

Valuarea -adică este o valuare și dă naștere unui analog al valorii absolute obișnuite. În timp ce completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută obișnuită are ca rezultat numerele reale , completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută -adică are ca rezultat numerele e . dreapta|miniatura|200x200px| Distribuția numerelor naturale prin valuarea lor 2-adică, etichetate cu puterile lui doi corespunzătoare în scriere zecimală. Zero are o valuare infinită.

Definiție și proprietăți Fie un număr prim.

Numere întregi Valuarea -adică a unui număr întreg este definită ca fiind

unde desemnează mulțimea numerelor naturale (inclusiv zero) și denotă divizibilitatea lui prin . În particular, este o funcție .

De exemplu, , și deoarece .

Uneori se folosește notația , însemnând .

Dacă este un număr întreg pozitiv, atunci

aceasta rezultă direct din .

Numere raționale Valuarea -adică poate fi extinsă la numerele raționale prin funcția

cu relația de ordine uzuală, anume

, și regulile pentru operațiile aritmetice,

, pe axa numerelor extinsă.

definită prin

De exemplu, și deoarece .

Unele proprietăți sunt:

Mai mult, dacă , atunci

unde este minimul (adică cel mai mic dintre cele două).

Valoarea absolută -adică Valoarea absolută -adică pe este funcția

definită prin

Astfel, pentru orice și, de exemplu, și

Valoarea absolută -adică este:

{| class="wikitable" |- |nenegativă || |- |pozitiv definită || |- |multiplicativă || |- |nearhimediană ||

Din proprietatea de multiplicativitate rezultă că pentru rădăcinile unității și și în consecință și Subaditivitatea rezultă din inegalitatea triunghiului nearhimediană .

Alegerea bazei în puterea nu face nicio diferență pentru majoritatea proprietăților, dar menține formula produsului:

unde produsul se face după toate numerele prime și valoarea absolută obișnuită, notată . Aceasta rezultă considerând descompunerea în factori primi: fiecare factor contribuie prin inversul său la valoarea absolută -adică a sa, iar apoi valoarea absolută arhimediană uzuală le simplifică pe toate.

Un spațiu metric poate fi format pe mulțimea cu o metrică (nearhimediană, invariantă la translații)

definită prin

Completarea lui în raport cu această metrică conduce la mulțimea a numerelor -adice.

Note

Vezi și Număr -adic Valuare (algebră) Proprietate arhimediană Multiplicitate (matematică) Teorema lui Ostrowski Formula lui Legendre