Teoria gauge este un tip de teorie a câmpului în care — și, implicit, dinamica sistemului — rămâne neschimbat la transformări locale asociate unor familii netede de operații descrise de grupuri Lie. În limbaj formal, Lagrangianul este invariant la aceste transformări locale.
Termenul gauge desemnează un formalism matematic utilizat pentru a elimina sau controla gradele de libertate redundante din descrierea Lagrangiană a unui sistem fizic. Transformările dintre diferite descrieri gauge se numesc transformări gauge și formează un grup Lie, numit grup de simetrie sau grup gauge al teoriei. Oricărui grup Lie îi este asociată a săi. Fiecărui generator îi corespunde un câmp gauge (de regulă un câmp vectorial), introdus în Lagrangian pentru a asigura invarianța gauge, adică proprietatea conform căreia teoria rămâne invariantă la transformări locale ale grupului gauge. La , cuantele câmpurilor gauge sunt interpretate ca bosoni gauge. Dacă grupul de simetrie este necomutativ, teoria se numește teorie gauge , un exemplu clasic fiind .
Multe teorii fizice sunt formulate prin Lagrangieni invarianți la anumite grupuri de transformări de simetrie. Dacă invarianța corespunde unei transformări aplicate identic în fiecare punct din spațiu-timp, se spune că teoria posedă o simetrie globală. În schimb, simetria locală — piatra de temelie a teoriilor gauge — impune o constrângere mai puternică, întrucât parametrii transformării pot varia de la un punct la altul. O simetrie globală poate fi privită ca un caz particular al unei simetrii locale, în care parametrii grupului sunt constanți în spațiu-timp.
Teoriile gauge sunt esențiale pentru descrierea interacțiunilor fundamentale din fizica particulelor. De exemplu:
Electrodinamica cuantică (QED) este o teorie gauge abeliană cu grupul de simetrie și un singur câmp gauge, . Bosonul gauge asociat este fotonul.
Modelul standard al particulelor elementare este o teorie gauge non-abeliană cu grupul de simetrie Y × L × c, având în total 12 bosoni gauge: fotonul, trei slabi (după ruperea simetriei) și opt gluoni.
Teoriile gauge joacă, de asemenea, un rol important în descrierea gravitației. Deși relativitatea generală nu este formulată în mod tradițional ca o teorie gauge, ea poate fi exprimată într-un limbaj apropiat teoriilor gauge, iar simetriile sale pot fi interpretate în termenii la difeomorfisme ale spațiu-timpului, un grup infinit dimensional. În unele abordări ale gravitației cuantice se postulează existența unui boson gauge ipotetic, gravitonul.
O abordare alternativă este teoria gravitației în formulare gauge, care încearcă să reformuleze gravitația ca o teorie gauge propriu-zisă, introducând câmpuri gauge asociate unor grupuri de simetrie locale ale spațiu-timpului, precum Spin(3,1) sau grupul Poincaré.
Aceste concepte au fost formulate inițial în contextul electromagnetismului clasic și ulterior dezvoltate în relativitatea generală. Semnificația modernă a simetriilor gauge a devenit însă clară odată cu dezvoltarea a electronului, în special prin formularea electrodinamicii cuantice (QED).
În prezent, teoriile gauge sunt utilizate nu doar în fizica energiilor înalte, ci și în alte domenii ale fizicii moderne. În fizica materiei condensate, ele descriu fenomene precum efectul Hall cuantic și ordinea topologică, unde anionii și defectele topologice apar ca excitații caracteristice, descrise prin teorii gauge locale cu sau grupuri non-abeliene. În fizica nucleară, teoriile gauge și mecanismele de rupere a simetriei sunt utilizate pentru a descrie structura barionilor, mezonilor și interacțiunile nucleon–nucleon, prin modele bazate pe izospin și alte simetrii gauge locale. Teoriile gauge continuă să joace un rol central și în cercetările contemporane privind materia întunecată, energia întunecată și posibila unificare a interacțiunilor fundamentale.
Istorie Conceptul și denumirea de teorie gauge își au originea în lucrările lui din 1918. Weyl, într-o încercare de a generaliza ideile geometrice ale relativității generale pentru a include electromagnetismul, a presupus că Eichinvarianz, adică invarianța la schimbări de scară, ar putea constitui o simetrie locală fundamentală. Teoria sa inițială a fost respinsă, deoarece implica variații observabile ale lungimilor (de exemplu în spectrele atomice), însă a pus bazele conceptuale ale formalismului gauge modern.
După dezvoltarea mecanicii cuantice, Weyl, Vladimir Fock și au înlocuit factorul de scară cu o fază complexă, reinterpretând simetria de scară ca o simetrie gauge U(1). Această reformulare a explicat modul în care câmpul electromagnetic acționează asupra funcției de undă a unei particule cuantice încărcate. Lucrarea lui Weyl din 1929 a introdus conceptul modern de invarianță gauge, ulterior popularizat de Pauli în recenzia sa din 1941.
Retrospectiv, formularea lui Maxwell din 1864–1865 a electrodinamicii („”) sugera deja existența unei redundanțe gauge, întrucât orice câmp vectorial cu rotor nul — care poate fi exprimat ca gradient al unei funcții scalare — poate fi adăugat potențialului vectorial fără a modifica câmpul magnetic. În mod similar, Hilbert a derivat ecuațiile lui Einstein presupunând invarianța acțiunii la transformări generale ale coordonatelor. Importanța fundamentală a acestor simetrii a devenit clară abia odată cu lucrările lui Weyl.
Inspirat de expunerile lui Pauli privind legătura dintre conservarea sarcinii și invarianța gauge, Chen Ning Yang a căutat o teorie a câmpului pentru descrierea interacțiunilor nucleare, bazată pe conservarea nuclear. În 1954, Yang și au generalizat invarianța gauge a electromagnetismului, construind o teorie bazată pe acțiunea unui grup de simetrie non-abelian, SU(2), asupra dubletului de izospin al protonilor și neutronilor. Aceasta este analogă acțiunii grupului asupra câmpurilor din electrodinamica cuantică.
a devenit prototipul teoriilor gauge moderne și a jucat un rol esențial în clarificarea structurii fizicii particulelor elementare. În 1956, a propus primul model gauge al gravitației, încercând să extindă formalismul Yang–Mills la interacțiunile gravitaționale prin mecanismul gauge al transformărilor Poincaré. Totuși, dificultățile legate de tratarea covariantă generală și de structura metricii pseudo-riemanniene au necesitat dezvoltări matematice ulterioare.
Ulterior, cadrul gauge a fost aplicat cu succes în descrierea interacțiunilor slabe. a inițiat în 1961 o teorie gauge unificată a interacțiunilor electromagnetice și slabe, bazată pe grupul SU(2) × U(1). Teoria a fost completată independent de Steven Weinberg în 1967 și Abdus Salam în 1968, care au aplicat mecanismul de rupere spontană de simetrie pentru a explica masele bosonilor slabi (W și Z). Această unificare electroslabă a reprezentat o piatră de temelie a modelului standard.
Importanța teoriilor gauge a crescut semnificativ odată cu descoperirea de către și , precum și, independent, de în 1973. Această descoperire a condus direct la formularea cromodinamicii cuantice (QCD) ca teorie gauge cu grupul SU(3)c, care acționează asupra sarcinii de culoare a quarcilor și gluonilor.
Modelul standard unifică descrierea electromagnetismului (U(1)Y), a interacțiunilor slabe (SU(2)L) și a interacțiunilor tari (SU(3)c) în cadrul limbajului teoriilor gauge.
În anii 1970, Michael Atiyah a studiat structura matematică a soluțiilor clasice ale ecuațiilor Yang–Mills. În 1983, studentul său a demonstrat că clasificarea varietăților cvadridimensionale diferă fundamental de clasificarea lor topologică. Ulterior, a demonstrat existența pe spațiul euclidian cvadridimensional. Aceste rezultate au stimulat interesul pentru teoriile gauge ca obiecte matematice de sine stătătoare.
În 1994, și au introdus metode bazate pe supersimetrie care au permis calculul unor invarianți topologici (), conducând la un interes reînnoit pentru teoriile gauge și aplicațiile lor în geometrie algebrică și topologie.
Importanța teoriilor gauge în fizică este ilustrată de succesul lor în furnizarea unui cadru unificat pentru teoriile cuantice ale câmpurilor care descriu electromagnetismul, interacțiunile slabe și interacțiunile tari. Modelul standard este o teorie gauge cu grupul SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y și descrie cu mare precizie trei dintre cele patru forțe fundamentale ale naturii. De asemenea, teorii moderne precum teoria coardelor și relativitatea generală pot fi formulate, într-un sens larg, în limbajul teoriilor gauge.
Vezi Jackson și Okun pentru istoria timpurie a conceptului de gauge și Pickering pentru detalii suplimentare despre istoria teoriilor gauge și a teoriilor cuantice ale câmpurilor.
Descriere
Simetrii globale și locale
Simetrie globală În fizică, formularea matematică a unei situații fizice introduce adesea grade de libertate suplimentare: aceeași situație fizică poate fi descrisă în mod echivalent prin mai multe configurații matematice distincte. De exemplu, în , două configurații legate printr-o transformare Galilei — adică printr-o schimbare inerțială a cadrului de referință — descriu aceeași realitate fizică. Aceste transformări formează un grup de simetrii ale teoriei, iar o situație fizică corespunde nu unei configurații matematice individuale, ci unei clase de configurații legate între ele prin acest grup de simetrii.
Această idee se poate generaliza pentru a include atât simetrii globale, cât și locale, analog unor „schimbări de coordonate” mai abstracte, în situații în care nu există un sistem de coordonate inerțial privilegiat care să acopere întregul sistem fizic. O teorie gauge este un model matematic care posedă astfel de simetrii, împreună cu un set de reguli care permit formularea de predicții fizice compatibile cu aceste simetrii.
Exemplu de simetrie globală Atunci când o mărime fizică nu este un simplu număr, ci are o semnificație geometrică — de exemplu o viteză sau o axă de rotație — reprezentarea sa numerică sub formă de vector sau matrice se modifică sub o transformare de coordonate. De pildă, dacă un model de curgere a unui fluid indică faptul că viteza fluidului în vecinătatea punctului (x = 1, y = 0) este de 1 m/s în direcția pozitivă a axei x, atunci o descriere echivalentă, în care sistemul de coordonate este rotit cu 90° în sensul acelor de ceasornic, va indica o viteză de 1 m/s în direcția negativă a axei y în vecinătatea punctului (, ).
Transformarea coordonatelor afectează atât identificarea poziției măsurătorii, cât și baza în care este exprimată valoarea acesteia. Atâta timp cât transformarea este aplicată global, în mod identic în fiecare punct, efectul asupra mărimilor care descriu variația în timp și spațiu este același ca asupra mărimilor strict locale.
Simetrie locală
Utilizarea fibratelor pentru a descrie simetriile locale Pentru a descrie riguros situații fizice mai complexe, este adesea necesară introducerea unei „structuri interne” pentru anumite obiecte ale teoriei, independent de coordonatele spațiu-timp. Din punct de vedere matematic, aceasta corespunde introducerii unui (sau fibrat de cadre), în care fibra asociată fiecărui punct al spațiului de bază (de exemplu, spațiu-timpul Minkowski) constă în ansamblul bazelor interne utilizate pentru descrierea câmpurilor în acel punct.
Pentru a specifica o configurație matematică completă, este necesară alegerea unei baze particulare în fiecare punct, adică a unei secțiuni locale a fibratului. Valorile obiectelor fizice — de regulă câmpuri — sunt exprimate în raport cu această bază. Două configurații matematice sunt considerate echivalente dacă sunt legate printr-o transformare a bazei interne, numită transformare gauge.