În matematică separarea variabilelorAniculăesei, curs, p. 30 (cunoscută și sub numele de metoda lui FourierAniculăesei, curs, p. 29) este una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor diferențiale ordinare (EDO) și a celor cu derivate parțiale (EDP), care permit rescrierea algebrică a ecuației astfel încât fiecare membru să conțină câte o singură variabilă, diferită de cea din celălalt membru.
Ecuații diferențiale ordinare O ecuație diferențială pentru funcția necunoscută va fi separabilă dacă poate fi scrisă sub forma
unde și sunt funcții date. Acest lucru este poate mai limpede atunci când este scris sub forma
Așadar, cât timp , termenii se pot rearanja pentru a obține:
unde cele două variabile, și au fost separate. Notația (și ) poate fi văzută ca fiind doar o notație convenabilă, care oferă un ajutor mnemonic la manipulări. O definiție formală a lui ca este oarecum convențională.
Notația alternativă Celor cărora le displace pot scrie asta sub forma
însă această formă nu reușește să evidențieze de ce metoda se numește „separarea variabilelor”. Integrând ambii membri ai ecuației în raport cu se obține
sau, ținând cont de integrarea prin schimbare de variabilă,
Dacă se pot evalua cele două integrale, se poate găsi o soluție la ecuația diferențială. Acest proces permite efectiv tratarea derivatei ca o fracție care poate fi separată. Acest lucru permite rezolvarea mai convenabilă a ecuații diferențiale separabile, așa cum este demonstrat în exemplul de mai jos.
De reținut că nu trebuie folosite două constante de integrare, cu ar fi
deoarece o singură constantă, , este echivalentă.
Exemplu Creșterea populației este adesea modelată de ecuația diferențială „logistică”.
unde este populația în funcție de timpul , este rata de creștere și este a mediului. Separarea variabilelor duce acum la
care este ușor de integrat, obținându-se
unde este constanta de integrare. Se poate determina în funcție de la Deoarece se obține
Generalizarea EDO separabile la ordinul al n-lea Așa cum se poate vorbi despre o EDO separabilă de ordinul întâi, se poate vorbi despre o EDO separabilă de ordinul al doilea, al treilea sau al n-lea. Fie o EDO separabilă de ordinul întâi:
Derivata poate fi scrisă alternativ în felul următor pentru a sublinia faptul că este un operator care lucrează pe funcția necunoscută :
Astfel, atunci când se separă variabilele la ecuațiile de ordinul întâi, de fapt se mută numitorul al operatorului în membrul cu variabila , iar rămâne în membrul cu variabila . Prin analogie, operatorul „derivată de ordinul al doilea”, se descompune după cum urmează:
Operatorii de derivare de ordinul al treilea, al patrulea și al n-lea se descompun în același mod. Astfel, la fel ca o EDO separabilă de ordinul întâi, care se reduce la forma
o EDO separabilă de ordinul al doilea se reduce la forma
iar una separabilă de ordinul al n-lea la forma
Exemplu Fie ecuația diferențială simplă neliniară de ordinul al doilea
Aceasta este o ecuație doar dacă și , sunt reductibile la forma generală descrisă mai sus, prin urmare este separabilă. Deoarece este o ecuație separabilă de ordinul al doilea, se separă toate variabilele într-un membru și toate variabilele în celălalt pentru a obține
apoi se integrează membrul drept în raport cu și cel stâng în raport cu
Acest lucru dă
care devine
Asta este acum o integrală simplă, care integrată dă răspunsul final
Ecuații cu derivate parțiale Metoda de separare a variabilelor este utilizată și pentru a rezolva o gamă largă de ecuații cu derivate parțiale liniare cu condiții de limită și inițiale, cum ar fi ecuația căldurii, ecuația undei, ecuația lui Laplace, și .
Metoda analitică de separare a variabilelor pentru rezolvarea ecuațiilor cu derivate parțiale a fost generalizată într-o metodă de calcul prin descompunere în structuri invariante, metodă care poate fi utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ecuații cu derivate parțiale.
Exemplu: cazul omogen Fie ecuația căldurii unidimensională:
unde este temperatura. Condiția la limită este , adică
Se caută o soluție care să nu fie identică cu zero care să satisfacă condițiile la limită, dar cu următoarea proprietate: este un produs în care dependența lui de , este separată, adică:
Substituind înapoi în prima ecuație și folosind regula de derivare a produsului,
Deoarece membrul drept depinde doar de iar cel stâng doar de ambii membri trebuie să fie egali cu o constantă . Astfel:
și
unde este valoarea proprie a ambilor operatori diferențiali, iar și sunt .
Se va arăta că soluțiile lui pentru valorile lui nu pot apărea. Fie Atunci există numerele reale astfel încât
Din a doua ecuație se obține
și deoarece este identică cu
Fie Atunci există numerele reale astfel încât
Din relația precedentă rezultă în același mod că este identică cu Deci, trebuie ca Atunci există numerele reale astfel încât
și
Cu și pentru un număr întreg pozitiv
Aceasta rezolvă ecuația căldurii în cazul particular în care are forma de mai sus.
În general, suma soluțiilor ecuației inițiale care satisfac condițiile la limită date satisface și Prin urmare, o soluție completă poate fi
Unde sunt coeficienți determinați din condiția inițială.
Fiind dată condiția inițială
se obține
Asta este o dezvoltare în a lui care este susceptibilă de o analiză Fourier. Înmulțind ambii membri cu și integrând peste se obține
Această metodă necesită ca funcțiile proprii , aici să fie ortogonale și . În general, acest lucru este garantat de .
Exemplu: cazul neomogen Fie ecuația neomogenă
cu aceeași condiție la limită de mai sus. Se dezvoltă și în
unde și pot fi calculate prin integrare, în timp ce urmează să fie determinat.
Se substituie și în prima ecuație și, ținînd cont de ortogonalitatea funcției sinus se obține
care sunt o succesiune de care pot fi rezolvate ușor, de exemplu prin transformata Laplace sau cu un factor integrant. Se poate obține
Dacă condiția la limită este neomogenă, atunci dezvoltările lui și a lui nu mai sunt valabile. Trebuie găsită o funcție care să satisfacă numai condiția la limită, funcție care se scade din . Atunci funcția satisface condiția la limită omogenă și poate fi rezolvată cu metoda de mai sus.
Exemplu: derivate mixte Pentru unele ecuații care conțin derivate mixte, ecuația nu se separă la fel de ușor cum a fost cazul ecuației căldurii în primul exemplu de mai sus, totuși separarea variabilelor poate fi încă aplicată. Fie bidimensională
Procedând ca de obicei, se caută soluții ale formei
și se obține ecuația
Se pune această ecuație sub forma
Derivata acestei expresii în funcție de este ceea ce înseamnă că sau Derivarea în funcție de duce la și astfel sau prin urmare fie fie trebuie să fie o constantă, . Aceasta mai implică faptul că fie fie sunt constante. Revenind la ecuația în și , sunt două cazuri
și
care pot fi rezolvate fiecare luând în considerare cazurile separate pentru și ținînd cont că
Coordonate curbilinii În coordonate curbilinii ortogonale, separarea variabilelor poate fi încă folosită, dar unele detalii diferă de cele din coordonatele carteziene. De exemplu, regularitatea sau condițiile periodice pot determina valorile proprii în locul condițiilor la limită.
Aplicații Ecuații cu derivate parțiale Pentru multe EDP, cum ar fi ecuația undelor, ecuația Helmholtz și ecuația Schrödinger, aplicabilitatea separării variabilelor este un rezultat al . În unele cazuri nu se pot separa variabilele. Separarea variabilelor poate fi posibilă în unele sisteme de coordonate, dar nu și în altele, și care sisteme de coordonate permit separarea depinde de proprietățile de simetrie ale ecuației. Willard Miller, (1984) Symmetry and Separation of Variables, Cambridge University Press Mai jos este un exemplu care demonstrează aplicabilitatea metodei la anumite ecuații liniare, deși metoda precisă poate diferi în cazuri individuale, de exemplu, în ecuația biarmonică.
Fie o problemă inițială a valorii la limită pentru o funcție pe în două variabile:
unde este un operator diferențial în funcție de iar este un operator diferențial în funcție de cu datele la limită: pentru pentru unde este o funcție cunoscută.
Se caută o soluție de forma Împărțind EDP cu se obține
Membrul drept depinde numai de iar cel stâng numai de așa că ambele trebuie să fie egale cu o constantă care dă două ecuații diferențiale ordinare
care pot fi recunoscote ca probleme cu valori proprii pentru operatorii și Dacă este un operator compact, autoadjunct pe spațiul împreună cu condițiile la limită relevante, atunci după teorema spectrală există o bază pentru constând din funcții proprii ale lui Fie lui și fie o funcție proprie cu valoare proprie Atunci, pentru orice funcție care pentru fiecare este integrabilă în funcție de se poate scrie această funcție ca o combinație liniară de În particular, se știe că soluția poate fi scrisă ca
pentru unele funcții La separarea variabilelor, aceste funcții sunt date de soluțiile Prin urmare, teorema spectrală asigură că atunci când este posibil separarea variabilelor va găsi toate soluțiile.
Pentru mulți operatori diferențiali, cum ar fi se poate arăta că aceștia sunt autoadjuncți la integrarea prin părți. În timp ce acești operatori pot să nu fie compacți, inverșii lor (când există) pot fi, ca în cazul ecuației undei, iar acești inverși au aceleași funcții proprii și valori proprii ca și operatorul original (cu posibila excepție a lui zero). David Benson (2007) Music: A Mathematical Offering, Cambridge University Press, Appendix W
Matrici Forma matricială a separării variabilelor este suma Kronecker.
Ca exemplu, fie laplacianul discret bidimensional pe o rețea regulată:
unde și sunt lapacienii discreți unidimensionali în direcțiile și respectiv iar sunt identitățile dimensionale adecvate.
Software Unele aplicații software matematice sunt capabile să facă separarea variabilelor, de exemplu Xcas.
Note
Bibliografie Gheorghe Aniculăesei, Ecuații parabolice și hiperbolice (curs), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2025-02-18
Legături externe
Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations Examples of separating variables to solve PDEs
"A Short Justification of Separation of Variables"
Categorie:Ecuații diferențiale ordinare Categorie:Ecuații cu derivate parțiale