thumb|upright=1.35|Curba groasă albastră și curba groasă ro șie sunt inverse una față de cealaltă. O curbă subțire este derivata aceleiași curbe groase de aceeași culoare. Regula derivării inversei funcției:Exemplu pentru : În calculul diferențial derivarea inversei unei funcțiiUniversitatea „Lucian Blaga” din Sibiu, Tematica probei de matematică (admitere, 2020), accesat 2025-02-25 se referă la formula folosită pentru a găsi derivata inversei unei funcții bijective și derivabile în funcție de derivata lui . Mai exact, dacă inversa lui este notată prin unde dacă și numai dacă , atunci regula derivării inversei unei funcții este în notația lui Lagrange
Această formulă este valabilă în general ori de câte ori este continuă și injectivă pe un interval cu derivabilă în () unde . Aceeași formulă este, de asemenea, echivalentă cu expresia
unde cu este notat operatorul de derivare unar (pe spațiul funcțiilor) și cu este notată .
Din punct de vedere geometric, o funcție și o funcție inversă au grafice care sunt reflexii față de dreapta Această operație de reflectare transformă panta oricărei linii în inversa sa.
Presupunând că are o inversă în vecinătatea lui și că derivata sa în acel punct este diferită de zero, inversa sa este garantat a fi derivabilă în și are o derivată dată de formula de mai sus.
Regula derivării funcției inverse poate fi exprimată și în notația lui Leibniz. După cum sugerează această notație,
Această relație se obține prin diferențierea ecuației în fincție de și, aplicând regula derivării funcțiilor compuse, rezultând că:
știind că derivata lui în funcție de este 1.
Derivare Fie o funcție inversabilă (bijectivă) și în domeniul lui , și fie în codomeniul lui Deoarece este bijectivă, este în intervalul lui De asemenea, aceasta înseamnă că este în domeniul lui și că este în codomeniul lui Deoarece este o funcție inversabilă, se știe că Regula derivării funcției inverse poate fi obținută calculând derivata acestei ecuații.
Membrul drept este egal cu 1, iar regula derivării funcțiilor compuse poate fi aplicată membrului stâng:
Rearanjând, se obține:
În loc să se folosească ca variabilă, se poate rescrie această ecuație folosind ca intrare pentru și se obține:
Exemple (pentru pozitiv) are inversa .
În , totuși există o problemă: graficul funcției rădăcinii pătrate devine vertical, corespunzând unei tangente orizontale pentru funcția de gradul al doilea.
(pentru real) are inversa (pentru pozitiv)
Proprietăți suplimentare Integrarea acestei relații dă
Acest lucru este util numai dacă integrala există. În special, avem nevoie ca să fie diferit de zero în intervalul de integrare.
Rezultă că o funcție care are o derivată continuă are o inversă într-o vecinătate a fiecărui punct în care derivata este diferită de zero. Acest lucru se poate să nu fie adevărat dacă derivata nu este continuă.
O altă proprietate, foarte interesantă și utilă, este următoarea:
unde cu este notată integrala nedefinită a lui
Inversa derivatei lui f(x) prezintă și ea interes, deoarece este folosită pentru a arăta convexitatea transformării Legendre.
Fie presupunând că :
Asta poate fi prezentată cu notația precedentă Atunci:
Prin urmare:
Se poate generaliza acest rezultat prin inducție pentru orice număr întreg cu a n-a derivată a lui iar cu presupunând că pentru :
Derivate superioare Regula derivării funcțiilor compuse de mai sus se obține prin derivarea identității în funcție de Se poate continua același proces pentru derivatele superioare. Derivând identitatea de două ori în funcție de se obține
care în continuare se simplifică la
Înlocuind derivata întâi, folosind identitatea obținută mai devreme, se obține
Similar, pentru derivata de ordinul al treilea:
sau, folosind formula pentru derivata de ordinul al doilea,
Aceste formule sunt generalizate la formula lui Faà di Bruno.
Aceste formule pot fi scrise și folosind notația lui Lagrange. Dacă și '' sunt inverse, atunci
Exemplu are inversa . Folosind formula pentru derivata de ordinul al doilea a funcției inverse,
prin urmare,
care corespunde cu calculul direct.
Note
Bibliografie
Vezi și Funcție inversă Derivarea funcțiilor compuse Derivarea unui produs Identitățile calculului vectorial
Categorie:Calcul diferențial Categorie:Teoreme de calcul diferențial și integral