În mecanica statistică, modelul cu opt vârfuri este o generalizare a modelului de tip gheață (sau modelului cu șase vârfuri). Acesta a fost studiat de și de C. Fan și F. Y. Wu, iar cazul fără câmp a fost rezolvat de .

Descriere

La fel ca în modelele de tip gheață, modelul cu opt vârfuri este un model pe rețea pătrată, în care fiecare stare este o configurație de săgeți la un vârf. Vârfurile permise au un număr par de săgeți orientate spre vârf; acestea includ cele șase moștenite din modelul de tip gheață (1–6), precum și „puțurile” (7) și „sursele” (8).

Se consideră o rețea , cu vârfuri și muchii. Impunerea impune ca stările 7 și 8 să apară la fel de frecvent, la fel ca stările 5 și 6, astfel încât se poate considera că au aceeași energie. În cazul fără câmp, același lucru este valabil și pentru celelalte două perechi de stări. Fiecărui vârf îi este asociată o energie și un

ceea ce conduce la a rețelei

unde suma exterioară se face peste toate configurațiile permise ale vârfurilor din rețea. În această formă generală, funcția de partiție rămâne nerezolvată.

Soluția în cazul fără câmp

Cazul fără câmp al modelului corespunde fizic absenței unui câmp electric extern. Prin urmare, modelul rămâne invariant la inversarea tuturor săgeților. În consecință, stările 1 și 2, respectiv 3 și 4, trebuie să apară în perechi. Vârfurilor li se pot atribui ponderi arbitrare

Soluția se bazează pe observația că liniile din metoda matricei de transfer comută pentru o anumită parametrizare a acestor patru ponderi Boltzmann. Aceasta rezultă dintr-o modificare a unei soluții alternative pentru modelul cu șase vârfuri care utilizează .

Matrici de transfer care comută

Demonstrația se bazează pe faptul că atunci când și , pentru mărimile

matricile de transfer și (asociate ponderilor și ) comută. Folosind , Baxter a reformulat această condiție ca fiind echivalentă cu o parametrizare a ponderilor

pentru modulul fix și și parametrul variabil . Aici este analogul hiperbolic al funcției .

Funcția matricială

O altă parte esențială a soluției este existența unei funcții matriciale nesingulare , astfel încât pentru orice complex matricile , comută între ele și cu matricile de transfer și satisfac relația

Soluția explicită

Comutativitatea matricilor permite lor și determinarea valorilor proprii. Funcția de partiție se calculează din valoarea proprie maximă, ceea ce conduce la o energie liberă pe nod

Modelul cu opt vârfuri a fost de asemenea rezolvat în cazul .

Echivalența cu modelul Ising

Există o corespondență naturală între modelul cu opt vârfuri și modelul Ising cu interacțiuni între doi și patru spini vecini. Stările acestui model sunt spini situați pe fețele unei rețele pătrate.

Isingduallattice

Cea mai generală formă a energiei este

unde , , și descriu interacțiunile între doi spini, iar interacțiunea între patru spini.

Isinginteractions

Din relațiile dintre energiile vârfurilor rezultă echivalența

între funcțiile de partiție ale modelului Ising și ale modelului cu opt vârfuri. Prin urmare, rezolvarea unuia dintre modele conduce imediat la rezolvarea celuilalt.

Note

Bibliografie

Vezi și Model de tip gheață Metoda matricei de transfer Modelul Ising

Categorie:Mecanică statistică