thumb|Interpolarea triliniară ca două interpolări biliniare urmate de o interpolare liniară În matematică interpolarea triliniarăAnca Morar, Ray casting (laborator), Universitatea Politehnica din București, accesat 2026-03-15 este o metodă de interpolare a funcțiilor de mai multe variabile într-o grilă regulată tridimensională. Aceasta aproximează liniar valoarea funcției într-un punct intermediar, în cadrul unei prisme dreptunghiulare locale, folosind valorile punctelor din rețea, cunoscute. Interpolarea triliniară este frecvent utilizată în analiza numerică, analiza datelor și în grafica digitală.
Metode înrudite Interpolarea triliniară este o dezvoltare a interpolării liniare, care operează în spații unidimensionale (cu dimensiunea ) și a interpolării biliniare, care operează cu în spații bidimensionale (), la spații tridimensionale (). Toate aceste scheme de interpolare utilizează polinoame de gradul întâi, oferind o precizie de gradul al doilea și necesită valori predefinite adiacente care înconjoară punctul de interpolare. Există mai multe modalități de a ajunge la interpolarea triliniară, care este echivalentă cu interpolarea tensorială B-spline tridimensională de ordinul 1, iar operatorul de interpolare triliniară este, de asemenea, un produs tensorial a 3 operatori de interpolare liniară.
Pentru o rețea nestructurată arbitrară (cum este cea utilizată în metoda elementelor finite), trebuie utilizate alte metode de interpolare. Dacă toate celulele rețelei sunt tetraedre (3-simplexuri), atunci, folosind coordonatele baricentrice se obține o procedură de interpolare similară, simplă.
Formulare thumb|Opt puncte în colțurile unui cub care înconjoară punctul de interpolare C Într-o rețea cubică se dorește valoarea în În cazul general, fiecare coordonată (de exemplu, ) nu se află exact într-un punct al rețelei, ci la o anumită distanță între un punct al rețelei și următorul, . Fie distanța față punctul al rețelei:
La fel pentru celelalte coordonate:
Prima dată se interpolează de-a lungul lui (imaginați-vă că fața cubului definită de este deplasată spre fața opusă, definită de ), obținându-se:
unde este valoarea funcției în Apoi se interpolează aceste valori (de-a lungul lui , „deplasând” din în ), obținându-se:
În final se interpolează aceste valori de-a lungul lui (pe o dreaptă):
Se obține valoarea interpolată pentru punct, care poate fi scrisă:
Din această relație se vede că rezultatul interpolării triliniare este independent de ordinea pașilor de interpolare de-a lungul celor trei axe: la orice altă ordine, de exemplu de-a lungul axei , apoi de-a lungul axei și în final de-a lungul axei , se obține aceeași valoare.
Vizualizarea algoritmului thumb|O vizualizare geometrică a interpolării triliniare. Produsul valorii din punctul dorit (negru) și întregul voum este egal cu suma produselor valorii din fiecare colț și volumul parțial opus diagonal colțului (cu aceeași culoare). Operațiile de mai sus pot fi vizualizate după cum urmează: Mai întâi se stabilesc cele opt colțuri ale unui cub care înconjoară punctul de interes. Aceste colțuri au valorile respectiv
Acum, se fac interpolările între și pentru a obține și între și pentru a obține . În final se calculează valoarea lui prin interpolare liniară între și
Algoritm alternativ O modalitate alternativă de a scrie soluția problemei de interpolare este:
unde coeficienții se obțin prin rezolvarea sistemului de ecuații liniare:
obținându-se:
Note
Vezi și Interpolare liniară Interpolare biliniară Interpolare spline
Legături externe pseudo-code from NASA, describes an iterative inverse trilinear interpolation (given the vertices and the value of C find Xd, Yd and Zd). Paul Bourke, Interpolation methods, 1999. Contains a very clever and simple method to find trilinear interpolation that is based on binary logic and can be extended to any dimension (Tetralinear, Pentalinear, ...). Kenwright, Free-Form Tetrahedron Deformation. International Symposium on Visual Computing. Springer International Publishing, 2015 .
triliniară Categorie:Geometrie în spațiu