Pentru noțiunea generală de limită, vedeți Limită (matematică).
Lista limitelor matematice este o pagină de referință care reunește unele dintre cele mai importante limite utilizate în analiza matematică. Aceste limite apar în studiul funcțiilor și al șirurilor, precum și în calculul diferențial și integral, având aplicații în teoria continuității, a derivatelor, a dezvoltărilor în serie și a comportării asimptotice a funcțiilor.
Multe dintre limitele prezentate sunt cunoscute sub denumirea de limite fundamentale sau limite remarcabile și constituie instrumente de bază în calculul limitelor. Demonstrațiile și aplicațiile lor utilizează frecvent teorema cleștului (strângerii), echivalențele asimptotice, dezvoltările Taylor și regula lui l'Hôpital.John K. Hunter, Introduction to Analysis, cap. 6 „Limits of Functions”, University of California, Davis, 2014.MIT OpenCourseWare, 18.100A Lecture 8: The Squeeze Theorem and Operations Involving Convergent Sequences, 2020.Tynan Lazarus, L’Hôpital’s Rule and Indeterminate Forms, University of Arizona, 2018.
În analiza reală, limita unei funcții sau a unui șir este instrumentul care permite definirea continuității, derivabilității, integrării și a noțiunilor asimptotice. O funcție care are limită finită într-un punct este, în particular, local mărginită în acel punct. Pentru funcțiile elementare, limitele clasice se obțin adesea prin reducerea la o formă cunoscută, prin factorizare, raționalizare sau printr-o comparație cu funcții de ordin mai mic sau mai mare. Pentru funcțiile derivabile, dezvoltările Taylor oferă cele mai utile formule de echivalență la ordin mic.Math 142, Commonly Used Taylor Series, University of South Carolina, material didactic online.
Limite fundamentale Operații cu infinit și zero
În calculul limitelor se utilizează frecvent reguli privind operațiile cu și . Unele dintre acestea conduc la rezultate determinate, în timp ce altele produc forme de nedeterminare.
În interpretarea limitelor, simbolul
nu reprezintă un număr real, ci arată faptul că valorile funcției cresc fără limită în modul.
Raportul unei constante finite la infinit
Dacă este o constantă finită, atunci
Aceasta exprimă faptul că raportul dintre o valoare finită și o funcție care crește fără limită tinde la zero.
Exemplu.
Cum
raportul tinde la zero deoarece numitorul tinde la infinit.
Exemplu.
Deoarece
numitorul crește fără limită, în timp ce numărătorul rămâne constant. Prin urmare,
de unde rezultă
Mai general, dacă
este mărginită și
atunci
Raportul unei constante nenule la zero
Expresia
nu are sens ca operație în mulțimea numerelor reale, însă în calculul limitelor pot apărea expresii de forma
unde
În acest caz, limita depinde de semnul valorilor luate de funcția din numitor în vecinătatea punctului considerat.
Exemplu.
Cum valorile lui sunt pozitive și foarte apropiate de , raportul crește fără limită (spre infinit).
Exemplu.
Deoarece
valorile lui rămân negative și se apropie de . În consecință,
ia valori din ce în ce mai negative în modul, astfel încât
Exemplu.
Pentru orice
are loc relația
În plus, atunci când
valorile lui
se apropie de , astfel încât
crește fără limită. Prin urmare,
Înmulțirea cu infinit
Dacă
atunci
iar dacă
atunci
Exemplu.
Exemplu.
În ambele cazuri, constanta modifică doar semnul funcției, fără a schimba faptul că limita este infinită.
Suma cu infinit
Adunarea unei constante finite cu o funcție care tinde la infinit nu modifică natura infinită a limitei:
Exemplu.
Pentru valori foarte mari ale lui , termenul constant nu influențează comportamentul funcției.
Exemplu.
La infinit, termenul constant nu influențează termenul dominant al polinomului.
Suma a două funcții care tind la infinit
Dacă două funcții tind simultan la
atunci și suma lor tinde la
Exemplu.
Deoarece ambele funcții tind la , și suma lor va tinde tot la .
Raportul unei funcții care tinde la infinit și al unei constante nenule
Dacă
atunci
Exemplu.
Deoarece
iar împărțirea la constanta pozitivă
nu modifică natura infinită a limitei, rezultă că
Exemplu.
Cum
iar împărțirea la o constantă negativă schimbă semnul expresiei, rezultă că
Puteri și radicali în limite la infinit
Pentru orice
are loc relația
Exemplu.
Deoarece
și funcția radical este crescătoare pe intervalul
rezultă că și
crește fără limită atunci când
Exemplu.
Cum
ridicarea la o putere pozitivă păstrează caracterul infinit al limitei. Prin urmare,
În schimb,
deoarece, dacă o funcție tinde la , atunci și puterile sale pozitive tind la , iar reciproca unei funcții care crește fără limită tinde la .
Exemplu.
Atunci când
valorile lui
devin din ce în ce mai mari. În consecință, raportul
devine din ce în ce mai mic și se apropie de . Prin urmare,
Forme de nedeterminare
Unele combinații cu și nu permit determinarea directă a limitei. Acestea sunt:Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, ed. a 4-a, Wiley, 2011.
Forma
Forma
apare atunci când atât numărătorul, cât și numitorul tind la . În acest caz, valoarea limitei nu poate fi dedusă direct numai din limitele separate ale numărătorului și numitorului.
Exemplu.
Deoarece
rezultă că limita va fi tot
Exemplu.
Pentru
se poate simplifica:
Astfel, limita devine
deoarece
rezultă
Exemplu.
Pentru
numărătorul și numitorul conțin factorul comun
Prin simplificare se obține
Astfel, studiul limitei se reduce la analiza funcției
Dacă
atunci valorile lui
sunt pozitive și foarte apropiate de
iar reciproca lor crește fără limită. Prin urmare,
Dacă
atunci valorile lui
rămân negative și apropiate de
iar reciproca lor scade fără limită. Astfel,
Cele două limite laterale sunt diferite, deci limita bilaterală nu există.
Dacă funcțiile și sunt derivabile într-o vecinătate a punctului considerat, iar
atunci, în anumite condiții, limita raportului poate fi calculată cu regula lui l'Hôpital:
dacă limita raportului derivatelor există sau este infinită.
Exemplu.
Prin substituție directă se obține forma de nedeterminare
Funcțiile
și
sunt derivabile într-o vecinătate a lui
astfel încât se poate aplica regula lui l'Hôpital. Derivata funcției este , iar derivata funcției , este .
Prin urmare,
Cum
rezultă
Forma
Forma
apare atunci când atât numărătorul, cât și numitorul cresc fără limită (tind la infinit).
Exemplu.
Numărătorul și numitorul cresc în același mod atunci când
astfel încât raportul lor rămâne egal cu
Exemplu.
Prin simplificare,
iar
Exemplu.
Pentru
se poate simplifica un factor comun:
Astfel, limita devine
Cum valorile lui
cresc fără limită atunci când
valorile reciprocei
devin din ce în ce mai mici și se apropie de
Prin urmare,
Aceste exemple arată că forma
nu determină singură valoarea limitei.
Forma
Forma
apare atunci când unul dintre factori tinde la , iar celălalt la infinit.
Exemplu.
Produsul se simplifică:
Exemplu.
Se obține
iar
Exemplu.
Atunci când
rezultă că
Se introduce variabila
iar limita devine
Din limita fundamentală
rezultă că
Limitele de acest tip, bazate pe schimbarea de variabilă și pe utilizarea funcțiilor compuse, sunt prezentate și explicate mai detaliat într-o secțiune ulterioară.
Regula lui l'Hôpital se poate aplica și în cazul formelor de nedeterminare de tipul
dacă funcțiile implicate sunt derivabile într-o vecinătate a punctului considerat și dacă limita raportului derivatelor există sau este infinită.
Exemplu
Atât numărătorul, cât și numitorul tind la , astfel încât apare forma de nedeterminare .
Funcția
are derivata
iar funcția
are derivata
Aplicând regula lui l'Hôpital, rezultă
Expresia obținută este din nou de forma
de aceea regula lui l'Hôpital poate fi aplicată încă o dată.
Derivatele sunt:
Prin urmare,
Rezultă astfel că
Forma
Forma
apare atunci când două funcții tind simultan la infinit, însă valoarea limitei diferenței nu poate fi determinată direct.
Exemplu.
Fiecare dintre cele două funcții tinde separat la
însă ele coincid pentru orice valoare a lui . Prin urmare,
pentru orice
astfel încât funcția este nulă, iar limita sa este
Exemplu.
Se poate factoriza:
Atunci când
atât
cât și
cresc fără limită și rămân pozitive pentru valori suficient de mari ale lui
Prin urmare, produsul lor crește fără limită, de unde rezultă
Exemplu.
Prin substituție directă,
astfel încât apare forma de nedeterminare
Pentru eliminarea radicalului se raționalizează expresia:
În numărător se aplică formula de calcul prescurtat
de unde rezultă
Pentru a putea calcula limita la infinit, se împarte numărătorul și numitorul la .
Se obține
Cum
atunci când
rezultă că
Prin urmare,
Astfel,
Forma
Forma
apare atunci când baza tinde la , iar exponentul la infinit.
Exemplu.
Prin substituție directă,
și
astfel încât apare forma de nedeterminare
Se aplică logaritmul natural:
Exponentul poate fi introdus în raport:
Cum
se aplică limita fundamentală
de unde rezultă
Prin urmare,
Aplicând funcția exponențială, se obține
Forma
Forma
apare atunci când baza tinde la , iar exponentul tinde tot la .
Exemplu
Se scrie
Cum
rezultă
Prin urmare,
Forma
Forma
apare atunci când baza unei puteri tinde la infinit, iar exponentul tinde la . În acest caz, limita nu poate fi determinată direct, deoarece aceeași formă poate conduce la rezultate diferite.
Exemplu.
Prin substituție directă,
și
astfel încât apare forma de nedeterminare
Se aplică logaritmul natural:
Astfel, calculul limitei se reduce la studiul expresiei
Cum
atunci când
rezultă că
Aplicând funcția exponențială,
Prin urmare,
Exemplu
Se utilizează proprietățile puterilor:
Rezultă astfel: .
Aceste exemple arată că forma , nu determină singură valoarea limitei.
Aceste forme se numesc nedeterminate deoarece aceeași formă poate corespunde unor limite diferite, astfel încât valoarea limitei nu poate fi dedusă direct numai din forma expresiei.Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, ed. a 3-a, McGraw-Hill, 1976, cap. 4.
Generalizări ale limitelor fundamentale (limitele remarcabile) Cele mai cunoscute limite fundamentale sunt cele care stau la baza derivării funcțiilor trigonometrice, exponențiale și logaritmice. În forma lor de bază, ele sunt:A. Narayan, Math 1210: Limits for trigonometric functions, University of Utah, Spring 2025.
Primele două limite se obțin, în mod clasic, din teorema cleștelui sau din argumente geometrice asupra sectorului de cerc, iar ultimele două din dezvoltările Taylor sau din regula lui l'Hôpital.A. Narayan, Math 1210: Limits for trigonometric functions, University of Utah, Spring 2025.Gilbert Strang, Calculus, ed. a 3-a, Wellesley-Cambridge Press, 1991, cap. 6 „Exponentials and Logarithms”, MIT OpenCourseWare.
O consecință directă este că, pentru orice constantă reală ,
cu condiția ca expresiile să fie definite în vecinătatea lui . Aceste formule apar în numeroase calcule de ordinul întâi și al doilea.
Exemplu. Să se calculeze . Prin introducerea factorului , se obține , de unde
Exemplu. Pentru , se folosește identitatea . Atunci
iar limita este , deoarece când .
Exemplu. Pentru , dezvoltarea lui dă , de unde
Aceeași limită se poate deduce și din regula lui l'Hôpital aplicată de două ori.
O formă echivalentă foarte utilizată este
În notația clasică a lui Strang, numărul este definit tocmai ca limita , echivalentă cu limita șirului .
Prin ridicare la puterea și aplicarea logaritmului, se obține și generalizarea
ori, mai general,
dacă și , cu ipoteza că pentru suficient de aproape de punctul de acumulare.
Exemplu.
Limitele funcțiilor compuse și celor prin schimbare de variabilă
În calculul limitelor apare frecvent situația în care o funcție este compusă cu alta. Dacă
și funcția este continuă în punctul , atunci
Această proprietate permite calculul multor limite prin trecerea directă la limită în expresie.
Exemplu.
Exemplu.
Exemplu.