thumb|upright=1.15|O particulă este deranjată din mișcarea sa liniară uniformă printr-o serie de acțiuni scurte dându-i traiectoriei sale o formă aproape circulară. La limită, când forța acționează continuu, îndreptată spre centrul de curbură al traiectoriei, este denumită forță centripetă.
Forța centripetă (din = centru și peto = a se îndrepta către Extract of page 291) este forța care face ca un corp să urmeze o traiectorie curbă. Direcția forței centripete este întotdeauna ortogonală față de direcția mișcării corpului și este îndreptată spre punctul centrului de curbură instantaneu al traiectoriei. Termenul a fost creat de Isaac Newton, descriind-o ca „o forță prin care corpurile sunt trase sau împinse sau tind în vreun fel spre un punct ca spre un centru”. În mecanica newtoniană, gravitația este forța centripetă care produce orbitele astronomice.
Un exemplu simplu în care apare forța centripetă este cazul în care un corp se mișcă cu viteză uniformă de-a lungul unei traiectorii circulare. Forța centripetă este direcționată perpendicular pe mișcare și, de asemenea, de-a lungul razei către centrul traiectoriei circulare. Descrierea matematică a fost elaborată în 1659 de fizicianul olandez Christiaan Huygens.
Relații matematice Din cinematica mișcării pe o curbă se știe că un obiect care se mișcă cu viteza tangențială de-a lungul unei traiectorii cu raza de curbură accelerează spre centrul curburii cu accelerația centripetă:
unde este diferența între viteza vectorială în momentele și .
Conform celui de al II-lea principiu al mecanicii, cauza accelerației este o forță care acționează asupra obiectului, care este proporțională cu masa sa și cu accelerația sa. Forța, denumită de obicei „forță centripetă”, are mărimea:
și, la fel ca accelerația centripetă, este îndreptată spre centrul de curbură momentan al traiectoriei obiectului.
Deducere thumb|upright=1|Schema vectorilor viteză Accelerația centripetă poate fi dedusă din schema vectorilor viteză în două cazuri. În cazul mișcării circulare uniforme, vitezele au mărimea constantă. Deoarece fiecare este perpendiculară pe vectorul său de poziție, scăderea vectorială simplă implică două triunghiuri isoscele congruente – unul având o catetă și cealaltă de , iar celălalt o catetă cealaltă :
Prin urmare, poate fi înlocuită cu :
Direcția forței este spre centrul cercului pe care se mișcă obiectul sau, dacă traiectoria nu este circulară, spre centrul cercului osculator. Viteza din formulă este la pătrat, deci, la o rază dată, dublarea vitezei necesită de patru ori mai multă forță.
Această forță este uneori scrisă și în funcție de viteza unghiulară a obiectului în jurul centrului cercului, legată de viteza tangențială prin relația:
Prin urmare:
Exprimată în funcție de perioada orbitală pentru o revoluție,
ecuația devine
În acceleratoarele de particule, viteza poate fi foarte mare (aproape de viteza luminii în vid), astfel încât aceeași masă în repaus are acum o inerție mai mare (masă relativistă), necesitând astfel o forță mai mare pentru aceeași accelerație centripetă, astfel încât ecuația devine: Extract of page 8
unde
este factorul Lorentz.
Astfel, forța centripetă este dată de:
care este rata de variație a impulsului relativist
Surse thumb|Pentru a-și menține traiectoria, un corp în mișcare circulară uniformă necesită o forță centripetă, orientată spre axă În cazul unui obiect care se învârte la capătul unei frânghii într-un plan orizontal, forța centripetă asupra obiectului este furnizată de tensiunea din frânghie, o forță de „tragere”. Forța centripetă poate fi furnizată și ca o forță de „împingere”, cum ar fi în cazul în care reacția normală a unui perete furnizează forța centripetă, de exemplu la .
Ideea lui Isaac Newton despre o forță centripetă corespunde cu ceea ce este denumit astăzi o forță centrală. Când un satelit se află pe orbită în jurul unei planete, gravitația este considerată a fi o forță centripetă, chiar dacă, în cazul orbitelor excentrice, forța gravitațională este îndreptată spre focar, nu spre centrul instantaneu de curbură.
Un alt exemplu de forță centripetă apare în elicea urmată de o particulă încărcată care se mișcă într-un câmp magnetic uniform în absența altor forțe externe. În acest caz forța magnetică este forța centripetă care acționează spre axa elicei.
Cazul mișcării circulare uniforme Într-un spațiu bidimensional vectorul de poziție , cu mărimea și direcția la unghiul față de axa poate fi exprimat în coordonate carteziene folosind versorii și :
Mișcarea circulară uniformă presupune că: obiectul se mișcă doar pe un cerc; raza cercului nu se modifică în timp; obiectul se mișcă cu o viteză unghiulară constantă pe cerc – prin urmare unde este timpul.
Viteza și accelerația a acestei mișcări sunt prima și a doua derivată în funcție de timp a vectorului de poziție:
În ultima relație expresia dintre paranteze este expresia inițială a lui în coordonate carteziene. Prin urmare:
Semnul negativ arată că accelerația este îndreptată spre centrul cercului (opusă direcției vectorului de poziție), de unde și numele de accelerație „centripetă” (adică „către centru”). În timp ce datorită inerției obiectele urmează în mod natural o traiectorie dreaptă, această accelerație centripetă descrie traiectoria mișcării circulare cauzată de o forță centripetă.
Exemplu: Curba supraînălțată thumb|Sus: Bilă care se mișcă cu o viteză constantă v pe o pistă circulară înclinată.Jos: Forțele asupra bilei. Partea d sus din imaginea alăturată prezintă o bilă în mișcare circulară pe o pistă curbă supraînălțată („înclinată”). Pista este înclinată la un unghi față de orizontală, iar suprafața pistei este considerată alunecoasă. Obiectivul este de a afla ce unghi trebuie să aibă înclinarea pentru ca mingea să nu alunece de pe pistă. Intuitiv, pe o pistă curbă plană, fără nicio înclinare, bila va ieși de pe pistă, în timp ce la o înclinare foarte mare bila va aluneca spre centru, cu excepția cazului în care parcurge curba rapid.
În afară de orice accelerație care ar putea apărea în direcția traiectoriei, partea de jos a imaginii arată forțele care acționează asupra bilei. Există două forțe: una este forța gravitațională verticală în jos prin centrul de masă al mingii unde este masa mingii, iar g este accelerația gravitațională; a doua este forța normală exercitată de pistă Forța centripetă necesară mișcării curbe este rezultanta adunării vectoriale a forței normale și a forței gravitaționale. Rezultanta trebuie să fie egală cu forța centripetă dictată de necesitatea de a parcurge o traiectorie circulară. Mișcarea curbă se menține cât timp această forță rezultantă furnizează forța centripetă necesară mișcării.
Forța rezultantă orizontală asupra bilei este componenta orizontală a forței de reacțiune a pistei, care are mărimea Componenta verticală a forței de reacțiune a pistei trebuie să contracareze forța gravitațională: ceea ce implică Înlocuind în relația de mai sus, rezultă o forță orizontală:
Pe de altă parte, la viteza |v| pe o traiectorie circulară cu raza , dinamica spune că forța necesară pentru a întoarce mingea continuu în viraj este forța centripetă spre interior : de mărime:
Prin urmare, bila se află pe o traiectorie stabilă atunci când unghiul pistei îndeplinește condiția:
sau,
Pe măsură ce unghiul de înclinare se apropie de 90°, tangenta se apropie de infinit, permițând valori mai mari pentru Cu alte cuvinte, această ecuație afirmă că pentru viteze mai mari pista trebuie înclinată mai mult (o valoare mai mare pentru ), iar pentru viraje mai strânse ( mai mic) pista trebuie, de asemenea, înclinată mai mult, ceea ce este în concordanță cu intuiția. Când unghiul nu îndeplinește condiția de mai sus componenta orizontală a forței exercitate de drum nu furnizează forța centripetă corectă, iar diferența este dată de o forță de frecare suplimentară, tangențială la suprafața pistei. Dacă frecarea nu poate face acest lucru (adică coeficientul de frecare este insuficient), bila alunecă la o rază diferită, unde se poate realiza echilibrul.
Aceste situații sunt valabile și în zbor.
Cazul mișcării circulare neuniforme thumb|Viteza (albastru) și accelerația (roșu) într-o mișcare circulară neuniformă. Accelerația este dată de componentele sale (portocaliu): centripetă (aR) și tangențială (aθ). Fie cazul mișcării circulare în care viteza unghiulară nu este constantă. Accelerația are acum o componentă tangențială, așa cum se arată în imaginea din dreapta. Acest caz este utilizat pentru a demonstra o metodă de obținere bazată pe un sistem de coordonate polare.
Fie r(t) un vector care descrie poziția unei mase concentrate într-un punct în funcție de timp. Deoarece se presupune că mișcarea este circulară, fie , unde R este o constantă (raza cercului) și ur este versorul dinspre origine spre masa punctuală. Direcția lui ur este descrisă de θ, unghiul dintre axa și versor, măsurat în sens trigonometric de la axa . Celălalt versor pentru coordonate polare, uθ este perpendicular pe ur și indică direcția de creștere a θ. Acești versori polari pot fi exprimați în funcție de versorii cartezieni în direcțiile x și y, notați respectiv : and :
Pentru a obține viteza, se derivează:
unde este viteza unghiulară
Acest rezultat pentru viteză corespunde așteptărilor conform cărora viteza ar trebui să fie direcționată tangențial la cerc și că mărimea sa ar trebui să fie . Se derivează din nou și, notând
se obține accelerația, a:
Astfel, componentele radială și tangențială ale accelerației sunt:
și
unde este modulul vitezei.
Aceste ecuații exprimă matematic faptul că, în cazul unui obiect care se mișcă de-a lungul unei traiectorii circulare cu o viteză variabilă, accelerația corpului poate fi descompusă într-o componentă perpendiculară, care modifică direcția mișcării (accelerația centripetă) și o componentă paralelă (tangențială), care modifică viteza.
Note explicative
Note
Lectură suplimentară
Centripetal force vs. Centrifugal force, from an online Regents Exam physics tutorial by the Oswego City School District
Vezi și Formulele lui Frenet Forța aparentă Forță centrală Forță centrifugă Forța Coriolis Teorema lui Bertrand
Legături externe
Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University
centripetă Categorie:Accelerație Categorie:Rotație Categorie:Inginerie mecanică