În analiza matematică o ecuație cu derivate parțiale eliptică este un tip de ecuație cu derivate parțiale (EDP). Aceste ecuații eliptice sunt folosite pentru a descrie o mare varietate de fenomene staționare, spre deosebire de EDP parabolice și hiperbolice, care modelează în general fenomene nestaționare (care evoluează în timp). Exemplele canonice de EDP eliptice sunt ecuația lui Laplace și ecuația lui Poisson. De asemenea, EDP eliptice sunt importante în matematica pură, unde sunt fundamentale pentru diverse domenii de cercetare, cum ar fi geometria diferențială și optimizarea transportului.

Definiție Ecuațiile cu derivate parțiale eliptice apar în multe contexte și niveluri de generalitate diferite.

Fie o EDP liniară de ordinul al doilea pentru o funcție necunoscută de două variabile scrisă sub forma:

unde și sunt funcții de indicii precizând variabilele în funcție de care sunt derivatele parțiale. O EDP este numită eliptică dacă

prin analogie cu ecuația unei elipse. Ecuațiile cu sunt denumite parabolice, în timp ce cele cu sunt hiperbolice.

Pentru o EDP liniară generală de ordinul al doilea, necunoscuta poate fi o funcție de oricare număr de variabile independente care satisfac o ecuație de forma:

unde sunt funcții definite pe domeniul simetric Această ecuație se numește eliptică dacă, considerând ca o funcție de evaluată în spațiul unei matrici simetrice toate valorile proprii sunt mai mari decât o constantă pozitivă: adică, există un număr pozitiv astfel încât:

pentru fiecare punct din domeniu și pentru toate numerele reale

Cel mai simplu exemplu de EDP eliptică liniară de ordinul al doilea este ecuația lui Laplace, în care coeficienții sunt funcțiile constante pentru și Ecuația lui Poisson este o EDP eliptică liniară de ordinul al doilea puțin mai generală, în care nu trebuie să se anuleze. Pentru ambele ecuații, constanta de elipticitate poate fi considerată a fi

Ecuații neliniare și de ordin superior Elipticitatea poate fi formulată și pentru clase mai generale de ecuații. Pentru cea mai generală EDP de ordinul doi, care este de forma:

pentru o funcție dată elipticitatea este definită prin liniarizarea ecuației și aplicarea definiției liniare de mai sus. Deoarece liniarizarea se face la o anumită funcție aceasta înseamnă că elipticitatea unei EDP neliniare de ordinul al doilea depinde nu numai de ecuația în sine, ci și de soluțiile luate în considerare. De exemplu, cea mai simplă implică determinantul matricei hessiene a funcției necunoscute:

Conform pentru derivata unui determinant, această ecuație este eliptică dacă este o funcție pozitivă și soluțiile satisfac constrângerea de a fi .

Există, de asemenea, EDP eliptice de ordin superior, cel mai simplu exemplu fiind de ordinul al patrulea. Chiar mai general, există o clasă importantă de sisteme eliptice care constau din ecuații cu derivate parțiale cuplate pentru funcții necunoscute multiple. De exemplu, ecuațiile Cauchy–Riemann din analiza complexă pot fi privite ca un sistem eliptic de ordinul întâi pentru o pereche de funcții reale cu două variabile.

Mai mult, ecuațiile din clasa EDP eliptice (de orice ordin, inclusiv sistemele) pot avea diverse , adică ecuațiile se pot reformula într-un mod care permite soluții cu diverse neregularități (de exemplu, nederivabilitate, singularități sau discontinuități), astfel încât să modeleze fenomene fizice care nu sunt netede. Astfel de soluții sunt importante și în calculul variațional, unde metoda directă în calculul variațional produce adesea soluții slabe pentru sisteme eliptice de ecuații Euler cu dicontinuități.

Forma canonică Fie o ecuație cu derivate parțiale eliptică de ordinul al doilea:

pentru o funcție de două variabile . Această ecuație este liniară în termenii principali de ordin superior, dar permite expresii neliniare care implică valorile funcției și primele derivate ale acestora; aceasta este uneori numită ecuație cvasiliniară.

O formă canonică cere o transformare a domeniului astfel încât, atunci când este privită ca o funcție de și ecuația de mai sus ia forma:

pentru o funcție nouă . Existența unei astfel de transformări poate fi stabilită local dacă , și sunt funcții analitice reale și, cu o tratare mai dificilă, chiar dacă sunt doar netede (derivabile continuu). „Local” înseamnă că transformările de coordonate necesare pot să nu fie definite pe întregul domeniu al lui , ci doar într-o mică regiune care înconjoară orice punct particular al domeniului.

Stabilirea formală a existenței unor astfel de transformări folosește existența soluțiilor la ecuația Beltrami. Din perspectiva geometriei diferențiale existența unei forme canonice este echivalentă cu existența pentru metrica riemanniană asociată

pe domeniu. (Condiția de elipticitate pentru EDP, și anume, pozitivitatea lui este ceea ce asigură că fie acest tensor, fie negația sa este într-adevăr o metrică riemaniană.)

Pentru ecuațiile diferențiale parțiale eliptice cvasiliniare de ordinul doi în mai mult de două variabile, de obicei nu există o formă canonică. Aceasta corespunde faptului că coordonatele izoterme nu există pentru metricile riemanniene generale în dimensiuni superioare, ci doar pentru cele foarte particulare.

Caracteristici și regularitate Pentru EDP liniară de ordinul al doilea generală, caracteristicile sunt definite ca direcția nulă pentru tensorul asociat

numit simbolul principal. Folosind tehnologia , caracteristicile sunt semnificative în înțelegerea modului în care punctele neregulate ale lui se propagă către soluția a EDP. Informal, mulțimea fronturilor de undă a unei funcții constă din punctele de netezire, pe lângă direcțiile din domeniul frecvențelor care cauzează lipsa de netezime. Este un fapt fundamental că aplicarea unui operator diferențial liniar cu coeficienți netezi poate avea doar efectul de a elimina puncte din mulțimea fronturilor de undă. Totuși, toate punctele mulțimii originale a fronturilor de undă (și posibil mai multe) sunt recuperate prin adăugare în direcțiile caracteristice (reale) ale operatorului.

În cazul unui operator liniar eliptic cu coeficienți netezi, simbolul principal este o metrică riemanniană și nu există direcții caracteristice reale. Conform paragrafului anterior, rezultă că mulțimea fronturilor de undă ale unei soluții coincide exact cu cea a soluției Aceasta stabilește o teoremă de regularitate de bază, care spune că dacă este netedă (astfel încât mulțimea fronturilor său de undă este vidă), atunci soluția este, de asemenea, netedă. Mai general, punctele în care nu reușește să fie netedă coincid cu punctele în care nici nu este netedă. Acest fenomen de regularitate diferă de cazul EDP hiperbolice, în care discontinuitățile se pot forma chiar și atunci când toți coeficienții unei ecuații sunt netezi.

Soluțiile EDP eliptice sunt asociate în mod natural cu soluții independente de timp ale EDP parabolice sau hiperbolice. De exemplu, o soluție independentă de timp a ecuației transmiterii căldurii este o soluție a ecuației lui Laplace. Adică, dacă EDP parabolice și hiperbolice sunt asociate cu modelarea sistemelor dinamice, atunci soluțiile EDP eliptice sunt asociate cu stări staționare. Informal, acest lucru reflectă teorema de regularitate de mai sus, deoarece stările staționare sunt în general versiuni netezite ale soluțiilor cu adevărat dinamice. Totuși, EDP utilizate în modelare sunt adesea neliniare, iar teorema de regularitate de mai sus se aplică doar ecuațiilor eliptice liniare. În plus, teoria regularității pentru ecuațiile eliptice neliniare este mult mai dificilă, soluțiile nefiind întotdeauna netede.

Note

Bibliografie

Lectură suplimentară

Vezi și Ecuație cu derivate parțiale parabolică Ecuație cu derivate parțiale hiperbolică

Legături externe

eliptic