Un spațiu topologic este o mulțime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noțiunile de vecinătate, convergență și limită.
Ca definiție formală, un spațiu topologic este o pereche , cu ( desemnează mulțimea submulțimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăți: și dacă , atunci dacă , atunci
Mulțimile din se numesc mulțimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulțimea vidă și spațiul însuși trebuie să fie mulțimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecție de două mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă; prin inducție matematică rezultă de aici că intersecția oricărei familii finite de mulțimi deschise este o mulțime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă.
Exemple este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulțime. este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă. Dacă d este o funcție distanță (o metrică) definită pe X (X este un spațiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulțimi deschise toate mulțimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulțime:
unde este bila (deschisă) de centru x și de rază .
Vecinătăți
Se numește vecinătate a unui punct al unui spațiu topologic orice submulțime ce conține o mulțime deschisă ce conține punctul : .
Submulțimi speciale ale unui spațiu topologic
Mulțimi închise
O submulțime a unui spațiu topologic X se numește închisă dacă complementul său față de spațiul X este o mulțime deschisă.
Din proprietățile mulțimilor deschisă rezultă că mulțimea vidă, întreg spațiul X, orice reuniune finită de mulțimi închise și orice intersecție (posibil infinită) de mulțimi închise este o mulțime închisă.
Mulțimi conexe
O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulțimi deschise disjuncte:
Pentru întregul spațiu X, condiția de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulțime simultan închisă și deschisă decât mulțimea vidă și întregul spațiu.
Mulțimi compacte
O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie satisfăcând , există o subfamilie satisfăcând .
Extinderi ale conceptului Pentru orice structură algebrică se poate introduce o topologie discretă.
Bibliografie Andrei Iacob, Metode topologice în mecanica clasică, Editura Academiei RSR, 1973.
Vezi și Bază (spațiu topologic) Varietate (matematică) Spațiu metric
Categorie:Analiză matematică