Teorema numerelor prime descrie distribuția asimptotică a numerelor prime.
În linii mari, teorema precizează că, dacă N este un număr natural suficient de mare, probabilitatea ca un alt număr natural, din vecinătatea lui N să fie prim, este , unde ln N este logaritmul natural al lui N. De exemplu, dacă N=10 000, aproximativ unul din 9 sunt prime, iar dacă N=1.000.000.000, numai unul din 21 numere (din vecinătatea lui N) sunt prime.
Enunțul teoremei thumb|right|400px|Graficul comparaţiei dintre şi . Se definește „funcția număr prim”
,
unde iar este mulțimea numerelor prime.
(Simbolul reprezintă numărul de elemente sau cardinalul mulțimii M. )
Așadar, definește numărul numerelor prime mai mici decât x.
Teorema numerelor prime afirmă că:
.
Sau, cu alte cuvinte, funcțiile și sunt asimptotic echivalente.
Istoric Teorema numerelor prime demonstrată pentru prima dată de matematicianul francez Jacques Hadamard, în 1896. Teorema a fost demonstrată independent, în același an, și de .
Îmbunătățire a teoremei
Tabel cu π(x), x / ln x și Li(x)
{| class="wikitable" style="text-align: right" ! x ! π(x) ! π(x) - x / lnx ! Li(x) - π(x) ! x / π(x) |- | 10 | 4 | -0,3 | 0,921 | 2,2 | 2,500 |- | 102 | 25 | 3,3 | 1,151 | 5,1 | 4,000 |- | 103 | 168 | 23 | 1,161 | 10 | 5,952 |- | 104 | 1.229 | 143 | 1,132 | 17 | 8,137 |- | 105 | 9.592 | 906 | 1,104 | 38 | 10,425 |- | 106 | 78.498 | 6.116 | 1,084 | 130 | 12,740 |- | 107 | 664.579 | 44.158 | 1,071 | 339 | 15,047 |- | 108 | 5.761.455 | 332.774 | 1,061 | 754 |17,357 |- | 109 | 50.847.534 | 2.592.592 | 1,054 | 1.701 | 19,667 |- | 1010 | 455.052.511 | 20.758.029 | 1,048 | 3.104 | 21,975
Note
Bibliografie
Ingham, A.E. - The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University, 1990 Hardy, G.H. - An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, Oxford, 1979
Legături externe Tabele cu numere prime de Anton Felkel Teorema numerelor prime la MathWorld Prime Number Generator
Vezi și Indicatorul lui Euler
prim Categorie:Aritmetică Categorie:Numere prime