Legile lui Kirchhoff (radiație)

Legile lui Kirchhoff sunt relații exacte între parametrii care descriu interacția materiei cu radiația electromagnetică. Cu definițiile date mai jos ele afirmă că, pentru orice lungime de undă λ, raportul între emisivitatea EM(λ) și absorptivitatea AM(λ) unui material M este independent de natura materialului și depinde numai de temperatura T: Aici I(λ,T) este emisivitatea unui corp ideal absorbant (negru) pentru toate lungimile de undă. Mai mult, funcția I(λ,T) se dovedește a fi intensitatea radiației electromagnetice într-o cavitate închisă cu pereții dintr-un material arbitrar ținut la temperatura T. Legile lui Kirchhofflegile nu par sa fie numerotate;termenul este o referință colectivă sunt consecințe ale principiului al doilea al termodinamicii.

Functia I(λ,T) poate fi determinată experimental; W.Wien a arătat (1893) că I(λ,T) este o funcție de o formă cu totul specialăW.Wien (1894),op.cit. ceea ce permite determinarea ei la orice temperatură din valorile ei la o singură temperatură (legile de deplasare ale lui Wien). Explicația teoretică a formei ei de către Max Planck în 1901Max Planck(1906), op.cit. este începutul mecanicii cuantice și al uneia din cele mai mari revoluții din istoria fizicii.

Radiația într-o cavitate închisă referită uneori ca Hohlraumstrahlung

La temperaturi diferite de zero absolut, orice corp emite radiație electromagnetică datorită agitației termice a moleculelor; invers, își poate ridica temperatura absorbind o parte din radiația emisă de alte corpuri. Mecanismele detaliate ale acestor procese nu le discutăm.

Considerăm o cavitate închisă , vidă (Hohlraum), cu pereții dintr-un material oarecare opac si ținută cu ajutorul unui rezervor de căldură la temperatura T. În interiorul ei se găsește radiație electromagnetică, continuu emisă și reabsorbită de pereții cavitățiiExcludem situația pereților perfect reflectători, chiar numai pentru o lungime de undă; acest caz are un interes special și este tratat în Max Planck, op.cit. . Presupunem că pereții nu sunt luminescențiÎnțelegem că în fenomenele luminescente, radiația emisă are altă lungime de undă decât aceea care o generează și prin urmare câmpurile corespunzătoare fiecărei lungimi de undă sunt independente. Se poate argumenta, folosind principiul al doilea al termodinamicii, că, pentru fiecare lungime de undă, radiația în cavitate este omogenă și izotropă. Argumentația folosește aproximația opticii geometrice, în care lungimea de undă a radiației este neglijabilă față de dimensiunile cavității.

Intensitatea radiației

Intensitatea specifică I(M,n,λ) a radiației în punctul M în direcția n, pentru lungimea de undă λ este energia transportată de unde electromagnetice cu lungimea de undă cuprinsă în intervalul (λ,λ+dλ), care traversează într-un timp dt un element de suprafață dA - care conține pe M și a cărui normală este direcția n - și este cuprinsă într-un unghi solid dΩ împrejurul lui ndacă radiația provine de la un corp luminos, I(M,n,λ) se numește strălucirea corpului: Dacă elementul de suprafață dA are o normală nA înclinată sub unghiul θ față de direcția n, folosim în formula (1) proiecția lui dA (= dA cos θ) pe planul perpendicular pe n care trece prin Mcos θ = (nA,n), dacă nA și n sunt versori. Ne așteptăm ca I(M,n,λ) să depindă încă de temperatură și eventual de natura pereților. Intensitatea totală I(M,n) este integrala peste intensitățile I(M,n,λ).Comentarii asupra originii microscopice a acestor formule se găsesc în M.Born, E.Wolf, op.cit., cap.3

Câmpul electromagnetic transmite în același timp și impuls: are sens să se vorbească despre impulsul care "trece" în timpul dt prin suprafața dA cu normala nA într-un unghi solid dΩ împrejurul direcției n (fluxul impulsului)După electrodinamica clasică,(de exemplu J.D.Jackson, op.cit.,cap.6) densitatea de impuls în câmp este (fluxul energetic)/c2: Fluxul impulsului dat de (2) este presiunea (forța pe unitatea de suprafață) pe care o exercită radiația asupra unui corp absorbant (dar care nu emite) plasat perpendicular pe direcția n.

Densitățile de energie și de impuls right|thumb|Fig.1:Calculul densității de energie (după Max Planck)

Considerăm un volum mic v plasat în centrul unei sfere de rază r, cuprinsă în cavitate(vezi Fig.1). Presupunem că radiația se află într-o stare staționară, nu neapărat de echilibru termic. Energia care traversează în timpul dt un element dA de pe sferă împrejurul punctului M cu coordonate (θ,φ) în direcția n corespunzătoare unui element de suprafață ds al volumului v estepentru simplitate, nu scriem dependența de λ; rezultatele sunt corecte și pentru intensitatea totală: unde ψ≈0 este unghiul între raza r și direcția n, iar dΩ = ds cosχ/r2. Energia d3E se găsește un timp h/c în interiorul lui v, unde h este înălțimea "cilindrului" tăiat de dΩ în v. Atunci energia care se găsește în v este în orice moment: unde, la fiecare θ,φ, suma se face intâi după volumele elementare în care v este împărțit de razele care pleacă din M și am presupus volumul v mic, astfel incât n ≈ -r/r și cos ψ ≈ 1(r este vectorul de poziție al lui M față de centrul sferei). În limita dsk→0, suma este chiar volumul v, așa încât: poate fi numită densitatea de energie în volumul v. Rezultatul nu depinde de rpentru r1<r, energia care traversează elementul dA1=r12sinθdθdφ pentru a ajunge la ds este pe de o parte I(r,θ,φ,n)sinθdθdφds iar prin definiția (1) este I(r1,θ,φ,n)dA1ds/r12, astfel că I(r1,θ,φ,n)=I(r,θ,φ,n)., dar poate depinde de punctul ales drept centrul sferei.

Analog, putem calcula densitatea impulsului pentru o distribuție staționară a radiației: fiecare element dA al sferei contribuie un impuls în direcția -r: Se vede că, deoarece vectorii r se pot anula reciproc, este posibil ca densitatea de impuls să fie zero, deși densitatea de energie nu este zero.

Echilibrul termic

Atunci când radiația se află în echilibru termic cu pereții, densitatea de impuls în cavitate este zero. Aceasta poate fi privită ca o consecință a principiului al doilea al termodinamicii: dacă impulsul unui element mic de volum ar fi diferit de zero, fluxul său printr-o suprafață perpendiculară pe direcția sa ar fi diferit de zero și deci și presiunea asupra unui obiect mic netransparent plasat acolo. Astfel am putea extrage indefinit un lucru mecanic la temperatură constantă ceea ce contrazice formulării principiului al doilea după Kelvin. Existența unor astfel de obiecte mici netransparente (probe), care lasă neschimbată distribuția radiației atunci când sunt introduse în cavitate este o presupunere care nu poate fi evitată în aceste argumente.

Un raționament care folosește aceasta este următorul: să introducem în cavitate fără lucru mecanic un obiect despre care presupunem că ar putea schimba distribuția de echilibru a densității de energie, de exemplu o oglindă mică infinit subțire printr-o mișcare lentă paralelă cu suprafața ei. Dacă noua distribuție de echilibru a energiei este diferită de cea veche, concludem că introducerea oglinzii a generat un flux de energie și deci o densitate de impuls diferită de zero în cavitate. Cu ajutorul probelor de mai sus, putem extrage un lucru mecanic la temperatură constantă, deși nu am cheltuit nici unul, și aceasta indefinit, scoțând și introducând oglinda, ceea ce e o încălcare a principiului al doilea. Concludem că, la echilibru termic, noua distribuție de energie (după introducerea oglinzii) trebuie să fie identică cu cea inițială.

Omogenitatea și izotropia radiației

Drept aplicație, verificăm întâi egalitatea I(M,n) = I(M,-n); I(M,n) este definit de ecuația (1); când oglinda este prezentă, energia d3E este integral reflectată și reprezintă energia emisă în direcția -n în unghiul dΩ; dar la echilibru termic, distribuția energetică a radiației este aceeași dacă există oglinda sau nu, ceea ce demonstrează egalitatea anunțată.

Fie acum -n1 direcția unei raze incidente pe oglindă și n2 aceea a razei reflectate. Ca mai sus, deducem că la echilibru termic, I(M,-n1) = I(M,n2) = I(M,n1). Date fiind acum două direcții arbitrare n1 și n2, putem alege orientarea oglinzii astfel incât normala nA la ea să fie proporțională cu (n1+n2)/2 (adică astfel incât -n1 și n2 să fie direcțiile razelor incidente și reflectate). Deducem că I(M,n1) = I(M,n2) și deci că radiația în echilibru termic este izotropă: I(M,n) = I(M).

Arătăm acum că I(M) nu depinde de fapt nici de alegerea punctului M: pentru aceasta, unim două puncte M1 și M2 cu un tub perfect reflectător cu secțiune dS și cu pereți infinit subțiri. Introducerea înceată a acestuia de-a lungul generatoarei în interiorul cavității nu necesită lucru mecanic și deci, după argumentul de mai sus, nu modifică distribuția energiei în cavitate. Un astfel de tub funcționează însă ca un ghid de unde între M1 și M2; dacă I(M1)≠I(M2) apare în tub un transport de energie între M1 și M2 și deci un impuls nenul în câmp. Ca mai sus, acest impuls ar putea fi convertit în principiu în lucru mecanic, ceea ce este interzis de principiul al doilea. Deducem că I(M1)=I(M2); cu alte cuvinte, în echilibru termic, câmpul de radiație este omogen.

right|thumb|Fig.2:Transportul de energie între două puncte

O consecință a izotropiei și omogenității radiației este că, pentru orice două elemente de suprafață dA1, dA2, conținând punctele M1,M2, aflate la distanța d unul de celălalt, energia transportată de la dA1 la dA2 este aceeași cu cea de la dA2 la dA1 și dată de expresia simetrică: (vezi Fig.2 pentru notații)

Din ecuația (3) cu I independent de θ,φ deducem: ecuația (4) duce la p = 0.

Presiunea radiației

Radiația electromagnetică exercită o presiune asupra pereților cavitățiiȘ.Țițeica. op.cit.,cap.10. Considerăm o porțiune dS a suprafeței (Fig.2) și radiația incidentă asupra ei din toate punctele unei hemisfere de rază r mică centrată în dS.right|thumb|Fig.3:Calculul energiilor emise și absorbite Radiația incidentă sub unghiul θ față de normală și care traversează un element de suprafață dA al hemisferei transmite lui dS în dt o cantitate de energie unde am folosit expresia elementului de suprafață dA in coordonate sferice. Componenta normală a impulsului transmis pe unitatea de timp deci forța aplicată suprafeței cavității este deci, folosind (2) și (5): La echilibru termodinamic, aceeași cantitate de energie care este transmisă pereților cavității prin suprafața dS este iradiată de pereți prin dS în interior vezi secțiunea despre relația lui Kirchhoff de mai jos; deoarece radiația de echilibru este izotropă, energia iradiată prin dS și care trece prin elementul dA de suprafață al sferei este dată tot de formula (6). Impulsul transmis în unitatea de timp normal pereților cavității este tot dF1 din (7) astfel incât presiunea totală:

Pentru energia totală, Expresia este similară cu aceea a energiei interne a gazului perfect (U = 3pV/2).Aceste formule sunt adevărate pentru fiecare lungime de undă și rămân adevărate, prin integrare, și pentru cantitățile referitoare la întreaga radiație.

Independența de material

Cu un argument termodinamic similar celor de mai sus, arătăm că densitatea de energie nu depinde de materialul din care e făcută cavitatea. Considerăm pentru aceasta doua cavități din materiale diferite, ambele in contact cu un rezervor la temperatura T. Le unim printr-un tub, în care se află un perete complet absorbant despărțitor. Dacă presiunile de cele două părți ale peretelui sunt diferite, putem extrage un lucru mecanic folosind diferența de presiune (ridica o greutate). Dacă procesul este condus cvasistatic, diferența de presiune rămâne constantă (deoarece presiunea depinde numai de temperatură!). După ce am parcurs o lungime oarecare δL, îndepărtăm tubul și punem un altul cu peretele despărțitor în aceeași poziție de la început. Putem reîncepe procesul și realizăm astfel un perpetuum mobile de speța a doua: transformăm ciclic energia de la un singur rezervor de căldură în lucru mecanic.