thumb|right|300px|Spectrul radiației corpului negru Formula lui Planck (cunoscută și ca legea lui Planck pentru radiația termică) este o expresie matematică ce stabilește dependența intensității radiației corpului negru de lungimea de undă a radiației emise și de temperatura corpului emisiv.
În conformitate cu legile radiației ale lui Kirchhoff, raportul între emisivitatea și absorbtivitatea unui material oarecare pentru radiația electromagnetică este o funcție universală (adică independentă de material) , de lungimea de undă a radiației și de temperatura absolută a materialului. Această funcție este numită și intensitatea radiației corpului negru. Formula lui Planck (1901) descrie explicit funcția:
unde: este viteza luminii în vid , constanta lui Planck , constanta lui Boltzmann.
Funcția are dimensiunile unui flux energetic raportat la unitatea de lungime de undă, conform ecuației dimensionale: . Această formulă este pentru fizică de o importanță centrală nu numai pentru faptul că este universală și reproduce fidel toate observațiile experimentale, ci pentru că, în interpretarea ei,Max Planck (1901), op.cit. apare pentru prima oară ipoteza existenței unei cuante de energie. Dezvoltarea în continuare a acestui concept a dus la nașterea și dezvoltarea mecanicii și electrodinamicii cuantice și a influențat profund viziunea științifică asupra realității fizice.
În acest articol sunt prezentate, dintr-o perspectivă istorică, argumentele care au condus la introducerea formulei lui Planck. O „deducere analitică” a formulei pe baza unor concepte de fizică clasică este imposibilă; este însă important de a înțelege ce considerente l-au condus pe Max Planck (o persoană cu vederi intelectuale conservatoare) să prezinte cuantele de energie — ceva nemaiîntâlnit până atunci — ca o posibilă explicație pentru „alura” neobișnuită a funcției I(λ,T) și să persevereze în a urmări această idee.A.Landé, op.cit.(1955),p.10, despre Max Planck: „Only a genius could have possessed the intuition to devise such a radical break with traditional theory and the courage not to reject it immediately again” („Numai un geniu ar fi putut avea intuiția necesară pentru a se gândi la o ruptură atât de radicală de teoria tradițională și curajul de a nu o respinge imediat.”) Pentru a descrie pașii premergători ipotezei cuantice, aceasta trebuie privită din perspectiva ansamblului conceptelor dominante ale fizicii de la sfârșitul secolului al XIX-lea.
Mărimi fizice Tabelul de mai jos cuprinde simbolurile principalelor mărimi și constante fizice utilizate în prezentul articol cu unitățile lor de măsură în SI și CGS {| class="wikitable" !Simbol !Mărimea/constanta fizică !Unități SI !Unități CGS
|intensitatea radiației corpului negru (radianța spectrală), sau energia pe unitatea de timp pe unitatea de suprafață pe unitatea de unghi solid pe unitatea de frecvență sau lungime de undă (după caz) |J·s−1·m−2·sr−1·Hz−1, sau J·s−1·m−2·sr−1·m−1 |erg·s−1·cm−2·Hz−1·sr−1,sauerg·s−1·cm−2·sr−1·cm−1
|frecvența |hertz (Hz) |hertz
|lungimea de undă |metru (m) |centimetru (cm)
| temperatura absolută al corpului negru |kelvin, (K)
|constanta lui Planck |jouli·secunde (J·s) |ergi·secunde (erg·s)
|viteza luminii |metru pe secundă (m/s) |centimetru pe secundă (cm/s)
|baza logaritmului natural, 2.718281... |adimensional |fără dimensiune
|constanta lui Boltzmann |jouli pe kelvin (J/K) |ergi pe kelvin (erg/K) |} Context istoric Un progres major al fizicii de la sfârșitul secolului al XIX-lea a fost stabilirea ecuațiilor lui Maxwell și previziunea derivată din ele asupra existenței undelor electromagnetice. Acestea au fost puse direct in evidență de Heinrich Hertz în 1886. Din ecuațiile lui Maxwell se poate deduce că o mișcare oscilatorie a unei sarcini electrice (dipolul hertzian) generează radiație electromagnetică. Pentru micile oscilații armonice ale sarcinii, Hertz a arătatvezi, de exemplu J. Jackson, op.cit., p.272vezi și Planck(1906), op.cit., p.154, §145 că puterea radiată este:
unde e este sarcina oscilatorului, l este amplitudinea oscilațiilor, și se presupune că λ >> l (lungimea de undă a radiației emise este cu ordine de mărime mai mare decât amplitudinea oscilațiilor dipolului). Modelele care se refereau la structura materiei de la sfârșitul secolului al XIX-lea erau de acord că radiația termică sau vizibilă înconjurătoare este generată de oscilații ale sarcinilor din atomi sau molecule.
Altă direcție de progres considerabil era termodinamica. Al doilea principiu al termodinamicii—formulat de către Clausius și Lord Kelvin—a condus la introducerea entropiei ca o funcție de stare cu proprietatea remarcabilă că ea nu poate descrește în procesele naturale ale sistemelor izolate. Max Planck era una din autoritățile marcante în acest domeniu. În lucrările din anii 1896-1900Max Planck (1896,1897,1900-1,1900-2,1901-3), op.cit. interesul său era orientat spre extinderea conceptului de entropie la radiația electromagnetică: procesul de emisie a radiației este ireversibil, în consecință o definiție corectă a entropiei trebuie să fie dată astfel ca orice act de emisie a radiației să corespundă unei creșteri a ei. Entropia globală a radiației într-o cavitate închisă a fost introdusă de către Ludwig Boltzmann în 1884 (vezi articolele Entropia termodinamică (exemple simple) și Entropia radiației electromagnetice).
În același timp, o serie de proprietăți ale gazelor (ecuația de stare, coeficienții de difuzie, etc.) au putut fi explicate prin teoria cinetică a lui James Clerk Maxwell și Ludwig Boltzmann. Ipoteza centrală era că gazele sunt un ansamblu de mici bile solide, care se supun mecanicii clasice dar în același timp au o distribuție a vitezelor și pozițiilor haotice, constrânse numai de energia și volumul care le stau la dispoziție. Aceste constrângeri se dovedesc a fi suficiente pentru a determina distribuția „maxwelliană”Vezi orice manual de fizică generală, de exemplu S.E. Friș, A.V.Timoreva, op.cit., cap. VII a vitezelor moleculelor unui gaz în stare de echilibru. Un pas conceptual a fost făcut de Boltzmann: el identifică entropia termodinamică (până la o constantă) cu logaritmul numărului Ω de microstări accesibile moleculelor gazului atunci când parametrii exteriori sunt fixați (adică pentru o "macrostare" determinată)L.Boltzmann (1896-1898), op.cit.. Forma celebră a acestei identificări este dată de formula:
unde k este o constantă universală (constanta lui Boltzmann), relație care are o validitate care depășește cadrul teoriei cinetice.După R.H.Swendsen, op.cit., această formulă—gravată pe mormântul lui Boltzmann—apare pentru prima oară în lucrarea lui Max Planck, op.cit. (1901-1), care e de fapt obiectul acestui articol; Max Planck acordă însă lui Boltzmann tot creditul pentru ea
Un rezultat cunoscut al lui L.Boltzmann (teorema H) este că—sub o ipoteză de dezordine moleculară—entropia S definită astfel (Mai precis, o cantitate (-H) care poate fi interpretată ca entropie în stări de neechilibru) are proprietatea că este monoton crescătoare în timp, până când atinge un maximum, corespunzător unei stări de echilibru (adică unei distribuții maxwelliene a vitezelor), analog entropiei termodinamice. Această teoremă remarcabilă a fost primită cu scepticism: motivul este că ireversibilitatea macroscopică a evoluției sistemelor naturale este în contradicție cu reversibilitatea în timp a legilor mecanicii clasice, presupuse că guvernează mișcarea particulelor gazului. Una din criticile celebre ale interpretării lui Boltzmann este datorită (1896) lui Ernst Zermelo, mai târziu matematician cunoscut pentru dezvoltarea teoriei mulțimilor, la vremea aceea asistent al lui Max Planck: der WiederkehreinwandE. Zermelo (1896-1), op.cit.) (în traducere liberă: „obiecția reîntoarcerii”). După acesta, dacă particulele unui gaz se află la momentul t=0 toate în jumătatea stângă a unui recipient și sunt lăsate să evolueze liber, va apărea într-adevăr după un timp foarte scurt o mișcare aparent haotică în întreg recipientul, dar aceasta este ea însăși instabilă și, după un timp suficient de lung, particulele se vor reîntoarce, cel puțin pentru un timp scurt, din nou în partea stângă a recipientului. (Aceasta este o consecință a teoremei de recurență a lui Poincaré).vezi V.I.Arnold,(1980) op.cit.,§16D,p.94 Discuția inițiată atunciBoltzmann (1896-1), op.citZermelo (1896-2), op.cit. nu este încă încheiată. Conștient de aceste dificultăți, Max Planck face un ocol împrejurul mecanicii statistice a lui Boltzmann până în 1900. (În răspunsul său la critica lui Zermelo, Boltzmann s-a declarat—ironic—onorat că lucrărilor lui li se acordă în Germania atenție.)
Boltzmann și Planck au fost însă uniți în opoziția lor față de curentul energetismului al lui Wilhelm Ostwald și G.F. Helm.G.F. Helm(1898), op.cit.Un alt adversar cunoscut al energetismului este V.I. Lenin, în Materialism și empiriocriticism Energetismul este o poziție metafizică opusă concepției atomiste, potrivit căreia conceptul primar în fizică este acela al energiei; încercările promotorilor săi de a modifica prezentările clasice ale mecanicii și termodinamicii au provocat replici violente din partea lui BoltzmannL. Boltzmann (1896-2), op.cit. și Planck.M. Planck (1896-2), op.cit. Cât de mari erau influența energetismului și conflictele provocate de el în acea vreme poate fi inferat din tonul foarte iritat al articolelor lui Boltzmann și Planck.
În anii 1896-1900, metodele experimentale permiteau o determinare precisă a funcției I(λ, T) pentru lungimi de undă între 0,5 si 10 microni și temperaturi între ca. 600 K și 1500 K.O. Lummer, E. Pringsheim (1900), op.cit.F. Paschen (1901), op.cit.H. Rubens, F. Kurlbaum (1901), op.cit.H.Kangro(1970), op.cit. Calitativ, rezultatele sunt arătate în fig.1. În domeniul teoretic, un pas important fusese realizatW. Wien (1894), op.cit. în 1894 prin formularea legilor de deplasare ale lui Wilhelm Wien, consecințe exacte ale principiului al doilea al termodinamicii și ale ecuațiilor lui Maxwell. După ele, funcția I(λ, T) are o formă cu totul specială:
unde f este o funcție de o singură variabilă. Consecințele acestei formule au fost confirmate de măsurători. Pentru comparație cu articolele lui Max Planck, dacă se raportează fluxul energetic (cf.(1.1)) și la unitatea de frecvență ν = c/λ; atunci (2.3) devine:
unde g este o funcție de o singură variabilă. Conform legilor lui Kirchhoff, funcția I(λ,T) (sau I(ν,T)) este legată în mod simplu de densitatea de energie u(λ,T) (sau u(ν,T)) a radiației corpului negru raportată la unitatea de lungime de undă (sau de frecvență):
și analog pentru u(ν,T).
Inspirat de o lucrare (1888) a fizicianului rus V.A. Michelson (profesor de fizică la facultatea de meteorologie și agricultură din Moscova,H. Kangro, op.cit. Wien a propus (1896)W. Wien (1896), op.cit. o formulă pentru I(λ, T) care reproducea bine datele cunoscute și avea forma cerută de legile de deplasare (2.3):
cu C și A constante. Funcția exponențială provine din distribuția maxwelliană a vitezelor și din ipoteza lui Michelson că perioada de oscilație a dipolului electric molecular este legată de viteza moleculei. Deși argumentația fizică pentru această formulă este aparent neconvingătoare, ea a jucat un rol esențial în descoperirea cuantelor.
Entropia radiației
Definiții O definiție naturală a densității spațiale pe unitatea de frecvență a entropiei s(u,ν) a „radiației corpului negru”Avem totdeauna în vedere radiația în echilibru termic cu pereții unei cavități (Hohlraumstrahlung) se obține din relația termodinamică:
unde T(u,ν) este soluția ecuației: u(ν,T) = u. Dacă folosim expresia (2.4) din legile de deplasare ale lui Wien precum și relația (2.5) și integrăm (3.1) cu condiția la limită s(u=0)=0, obținem relația mai precisă:
cu g din (2.4). Prin analogie cu (2.5) definim pentru radiația corpului negru fluxul de entropie (densitatea lui în raport de frecvență) prin: