Teorema lui Frobenius stabilește condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru sisteme de forme diferențiale. Este o teoremă importantă a geometriei diferențiale, cu interpretare geometrică ușor de înțeles, legată de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii.
Punerea problemei O 1-formă diferențială (sau formă Pfaff) Ω este o expresie: unde a1,a2,..,an sunt funcții netede (cu cel puțin o derivată continuă) de x=(x1,x2,..xn) iar dxi sunt diferențiale (deplasări infinitezimale în direcțiile xi). Dacă funcțiile x1(t),....xn(t), t ε [t0,t1], parametrizează o curbă C în spațiul n-dimensional Rn, se poate defini univoc integrala : Astfel de integrale apar în mod curent în calculul lucrului mecanic efectuat asupra unui sistem cu n grade de libertate. Funcțiile ai(x) sunt „forțele”, presupuse cunoscute ca funcții de x.
Diferențiale totale În fizică, o situație cu un interes deosebit este aceea în care forțele ai derivă dintr-un potențial, adică există o funcție V(x) astfel incât În această situație, 1-forma Ω este diferențiala totală a funcției -V: O consecință importantă este că integrala formei Ω este în acest caz independentă de drum: într-adevăr,iar forma drumului nu joacă nici un rol. Chestiunea care se ridică este cum putem recunoaște, inspectând coeficienții ai, dacă forma Ω reprezintă o diferențială totală. Răspunsul este bine cunoscutvezi un manual introductiv bun de analiză; excelent este Miron Nicolescu, N.Dinculeanu, Solomon Marcus, op.cit., vol.II,cap.VIII,§g:dacă Ω este definită într-o vecinătate (stelatăO mulțime U este stelată împrejurul unui punct x0 dacă, pentru orice xε U segmentul care unește pe x cu x0 e cuprins în întregime în U) U a unui punct x0, atunciacesta este un caz simplu al Lemei lui Poincaré,vezi V.I.Arnold, op.cit.,§36G: Condiția necesară și suficientă pentru ca Ω să fie diferențiala totală a unei funcții F(x) definită în U este ca, pentru orice pereche de indici i,j și pentru orice x ε U:Necesitatea rezultă din faptul că, dacă există o funcție F astfel incât ∂F/∂xi=ai pentru toți indicii i, atunci derivatele ei mixte sunt egale (întrucât ai au derivate continuevezi M.Nicolescu,N.Dinculeanu,S,Marcus,op.cit.vol.I, cap.VIII,§6.2): Suficiența se arată construind explicit functia F(x) pornind de la valoarea ei (care poate fi prescrisă arbitrar) într-un punct luat pentru conveniență x0=0 (=(0,0,0,..0)) prin: unde L este segmentul de dreaptă care unește 0 cu x=(x1,x2,..xn). Dreapta este parametrizata de xi'=t xi, t ε (0,1) și atunci: Arătăm că, într-adevăr: ∂F/∂xk= ak , pentru toți k=1,..n, dacă simetria (I) e indeplinită: unde în ultimul pas am integrat prin părți.
Legătura cu analiza vectorială În 3 dimensiuni, dacă axele de coordonate sunt ortogonaleaceasta presupune că e definit un produs scalar, ceea ce pentru discutarea integrabilității nu e necesar,relația (I) exprimă faptul bine cunoscut (de exemplu în electrostatică): Câmpul de vectori cu componente (a1(x),a2(x),a3(x)) derivă dintr-un potențial dacă și numai dacă rotorul său se anulează. Rotorul este câmpul de vectori (r1,r2,r3) asociat lui (a1,a2,a3) prin:
Invarianța la schimbări de coordonate Proprietatea unei 1-forme de a fi o diferențială totală nu depinde de sistemul de coordonate ales; criteriul (1.6) este și el invariant: la o schimbare arbitrară de coordonate xi= xi(x'1,x'2,...x'n nesingularăadică cu un iacobian nenul, vezi M.Nicolescu, N.Dinculeanu, S.Marcus,op.cit.,volI, cap.VIII,§7.3 1-forma Ω devine:Dacă notăm se verifică ușor că: ceea ce arată direct că egalitatea (1.6) (Dij=0) e satisfăcută în orice sistem de coordonate, dacă e îndeplinită într-unul oarecare.
Integrabilitate Ecuația Ω=0 definește în fiecare punct x=(x1,x2,...xn) un plan în „coordonatele” dx1,...dxn limbajul este aici oarecum imprecis, vezi §4; înțelegem că este planul descris de (a1, a2, ...an) care trece prin x. Dacă Ω este o diferențială totală a unei funcții F(x), acest plan coincide cu planul tangent la suprafața F = constant. Putem zice că planele definite de Ω=0 "infășoară" suprafața F=const. Ecuația Ω=0 poate fi privită și ca o ecuatie diferențială pentru una din coordonate, de exemplu xn: Lăsând punctul descris de celelalte n-1 coordonate să descrie in Rn-1 o curbă C: x1(t),...xn-1(t), ecuația Ω=0 devine o ecuație pentru variația cu parametrul t a coordonatei xn(t). Dacă Ω este o diferențială totală atunci, independent de modul în care am ales curba C, punctul (x1(t),...xn-1(t),xn(t))descrie o curbă C1 aflată în întregime pe suprafața F=const (vezi Fig.1), unde constanta depinde de condițiile inițiale: deci F=const. right|thumb|Fig.1.Integrabilitate:Toate soluţiile ecuaţiilor diferenţiale date de Ω=0 se găsesc pe aceeaşi suprafaţă Aceste proprietăți pot rămâne adevărate si atunci cand Ω nu este o diferențială totală: pentru ca Ω=0 și dF = 0 să descrie același plan este suficientă proporționalitatea coeficienților diferențialelor dxi cu un factor depinzând de punctul x = x1,...,xn): . Forma Ω o scriem atunci: Spunem despre o formă Ω care satisface astfel de relații că este integrabilăDacă am determinat funcțiile F și μ(x), spunem că am integrat 1-forma; a nu se confunda cu integrarea 1-formei pe un drum, ceea ce e totdeauna posibil. Factorul μ(x) se numește factor integrant(d). Factorul integrant(d) nu este unic definit: el poate fi înmulțit cu o funcție oarecare Ψ(F) și atunci: În general (când factorul μ are o dependență reala de x), integrala formei Ω este dependentă de drumul de integrare. Totuși, așa cum se întâmplă pentru diferențialele totale, toate soluțiile ecuației diferențiale reprezentate de ecuația Ω=0 se găsesc pe aceeași suprafață F(x)=constant. De asemenea, (hiper)planele Ω=0 „infășoară” această suprafață (coincid în fiecare punct cu planul tangent la ea). Pentru o 1-formă arbitrara Ω aceste proprietăți nu sunt adevărate. Un exemplu pentru care neintegrabilitatea poate fi verificată foarte ușor direct este:integrând ecuația diferențială pentru z(x)obținută din Ω=0 de-a lungul dreptei y=x pornind din origine cu condiția inițială z(0,0)=0 obținem z(1,1)=0; integrând de-a lungul parabolelor y=ax2+(1-a)x obținem z(1,1)=a/3k (vezi Fig.2). right|thumb|Fig.2.Neintegrabilitate:Integrarea pe drumuri diferite duce la rezultate diferite Proprietatea de integrabilitate este invariantă atât la schimbări de coordonate (vezi §1.2.1) cât și la înmulțirea formei Ω cu o funcție oarecare de x."Integrarea" 1-formei Ω înseamnă găsirea unei schimbări "inteligente" de variabile xi = xi(x'1,...x'n), i=1,...,n, astfel încât, în noile variabile, coeficienții tuturor diferențialelor să se anuleze, cu excepția unuia singur. Intuitiv, dacă ecuațiile suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: xn=xn(x1,x2,...xn-1,xn0), unde xn0 este coordonata intersecției lor cu axa xn și dacă ∂xn/∂xn0 ≠ 0adică xn0 reprezintă un indice neambiguu pentru suprafețe, atunci o astfel de schimbare de variabile se obține din soluția acestei ecuații față de xn0: xn0=xn0(x1,x2,..xn) și punând x1' = x1, x2'=x2,...x'n-1=xn-1 , x'n=xn0. În noile coordonate, ecuația suprafețelor devine simplu xn0 = const. (Vezi Fig.3) left|thumb|Fig.3.Suprafeţele înfăşurate de planele Ω=0 pot fi transformate în (hiper)plane paralele Teorema lui Frobenius enunță condiții asupra coeficientilor ai(x) necesare și suficiente pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă. Aceste condiții sunt evident, mai puțin restrictive decât cele date de (1.6) pentru. diferențiale totale.
Relevanța în termodinamică În formularea termodinamicii după CarathéodoryC.Carathéodory,0ß.cit.(1909) principiul al doilea este în mare măsură exprimat prin afirmația că forma diferențială DQ care reprezintă cantitatea de caldură schimbată de un sistem (simpluv. Entropia termodinamică (după Carathéodory)) cu exteriorul în cursul unui proces reversibil este integrabilă, în sensul paragrafului precedent. Forma DQ este : unde x1,x2,...xn sunt parametri geometrici ai sistemului, Yi sunt „forțele” corespunzătoare (care pot duce la modificarea lor) iar U este energia internă , care - după principiul intâi - este o funcție univocă de parametrii care descriu starea sistemului. Aceștia sunt x1,x2,... și un parametru intensiv x0(în mod obișnuit presiunea p sau temperatura T). Scriind expresia (1.17) am presupus că ecuația U=U(x0,x1,x2,..xn) este rezolvabilă în raport cu x0, și deci că putem să folosim variabila U în locul acestuia. Forma DQ nu are o integrală independentă de drum, dar toate soluțiile ecuatiei DQ=0, adică multimea punctelor (U,x1,x2,...xn) care sunt accesibile de la un punct inițial (U0,x10,...xn0) prin procese adiabatice și reversibile se găsesc pe o suprafață: Acestea sunt suprafețele de entropie constantă. După Carathéodory, acesta este modul natural de a introduce conceptul de entropie. Teorema lui Frobenius implică anumite constrângeri asupra parametrilor de forță Yi(U,x1,x2,..xn) prin care se asigură integrabilitatea formei DQ.
Situația n=3 în detaliu Cazul preliminar n=2 O formă diferențială care conține numai doi termeni: este totdeauna integrabilă împrejurul unui punct (x00,y00), dacă cel puțin unul din coeficienți nu se anuleazăÎn acest paragraf folosim pentru claritate variabilele x,y,z în loc de x1,x2,x3. Într-adevar, daca b(x00,y00) ≠ 0, ecuația: areîn condițiile de netezime presupuse o soluție unicăAceasta este teorema de existență și unicitate a lui Picard-Lindelöf, vezi A. Halanay, op.cit. cap.I,§7 y(x,y0) definită intr-o vecinătate Ux X Uy a lui (x00,y00), cu derivate continue față de ambele variabile și astfel incât y(x00,y0)=y0 pentru un y0 în Uy. Deoarece ∂y(x,y0)/∂y0 tinde către 1 când x tinde către x00 în virtutea continuității, putem rezolva ecuația y=y(x,y0) față de y0 pentru x și y într-o vecinătate suficient de mică a lui (x00,y00)vezi Teorema funcțiilor implicite, M.Nicolescu, N.Dinculeanu, S.Marcus, op.cit., vol.I, cap.VIII,§7: Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y0), soluția ecuației diferențiale, obținem prin definiția cuvântului "a rezolva"o identitate: spunem că y0(x,y) este o integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației. Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y0): deducem : și identificăm factorul integrand cu (∂y/∂y0)(x,y))b(x,y) În factorul ∂y/∂y0 variabilele naturale sunt x și y0: se presupune că, dupa ce am luat derivata, înlocuim pe y0 prin expresia sa în funcție de x,y de mai sus.. În concluzie, schimbarea de variabile (2.3) (și x'=x) "integrează" 1-forma Ω : soluțiile lui Ω=0 sunt y0 = const (vezi Fig.4). În 2 dimensiuni, aceasta este totdeauna posibil. right|thumb|Fig.4:Integrabilitatea pentru n=2
Comentariu cu privire la termodinamică Interpretarea (inversului) temperaturii absolute ca factor integrand al cantității de căldură este datorită lui Helmholtzcitat de Planck(1926), op.cit.. Faptul că pentru n=2 găsirea factorului integrand este simplă și totdeauna posibilă face ca termodinamica să poată fi prezentată fără dificultățile matematice legate de forme diferențiale generale: într-adevăr, mărimile legate de obiectele standard de studiu (gazele) sunt forme diferențiale cu n=2 : Dacă ne restrângem la astfel de sisteme, cazul n=3 - care se dovedește a fi esențial pentru analiza echilibrului termic - poate fi tratat fără a face recurs la "teoria generală" urmând pe Max Planckvezi Planck 1926, op.cit.. O prezentare detaliată a procedurii sale se găsește într-un articol separat.
Condiția lui Frobenius pentru n=3