În geometrie, cercul lui Apollonius reprezintă locul geometric al punctelor pentru care raportul distanțelor la două puncte fixe este constant. Numele provine de la matematicianul grec Apoloniu din Perga.
thumb|right|200px|Punctul P parcurge cercul lui Apollonius: PA/PB=k
Formularea Se consideră segmentul și un număr real pozitiv
Atunci mulțimea punctelor:
este cercul lui Apollonius. În cazul în care ,locul geometric e o dreaptă, adică mediatoarea segmentului.
Demonstrație Considerând punctul variabil P, există următoarele cazuri: P se află pe dreapta AB. Exceptând cazul în care k=1, când P nu poate fi decât mijlocul segmentului AB, ecuația PA=k·PB are ca soluție două puncte C și D, conjugate armonic în raport cu A și B. P se află în exteriorul dreptei AB. Deoarece PA/PB=CA/CB rezultă că PC este bisectoarea unghiului P în triunghiul APB, iar PD este bisectoarea exterioară. Așadar, CPD este unghi drept, deci P parcurge cercul de diametru [CD]. Acest cerc este chiar cercul lui Apollonius asociat punctelor A, B și numărului k.
Categorie:Geometria triunghiului