Funcția algebrică de gradul al treilea este o funcție polinomială reală de forma
unde .
Aceasta este o funcție polinomială de gradul al treilea, dar ea apare frecvent și sub denumirea de „funcție cubică”.
Fiind un polinom de grad impar, orice funcție de acest tip este continuă și derivabilă pe toată axa reală, nu are asimptote verticale și are cel puțin o rădăcină reală. Din punct de vedere geometric, graficul ei este o curbă algebrică de gradul al treilea, cu o singură schimbare de convexitate și cu un comportament asimptotic determinat de coeficientul termenului de gradul maxim.
Definiție și expresie generală
O funcție algebrică de gradul al treilea este determinată de un polinom de gradul al treilea. Coeficientul , numit coeficientul principal, trebuie să fie nenul; ceilalți coeficienți , și apar în ordine descrescătoare a puterilor lui Dacă , funcția se numește monică.
Scrierea generală
Aceasta este forma standard folosită în studiul funcțiilor polinomiale și al ecuațiilor algebrice de gradul al treilea. Orice problemă despre valorile, zerourile sau variația unei astfel de funcții se reduce, în esență, la proprietățile polinomului corespunzătorAndrei Marcus, Polinoame și ecuații algebrice, Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca, 2017, pp. 7–9, 17–20, 29–31
Forma redusă
Prin schimbarea de variabile, termenul de gradul al doilea poate fi eliminat:
După împărțirea întregii expresii prin coeficientul principal , se obține forma redusă:
unde
Această reducere este utilă atât în rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea, cât și în studiul graficului. În coordonatele noului sistem, abscisa punctului de inflexiune devine , iar analiza se simplifică.
În unele interpretări, scrierea este tratată ca formă standard de studiu pentru ecuația cubică, deoarece orice ecuație de gradul al treilea cu coeficienți reali se poate aduce la această formă printr-o translație adecvată
Graficul și limitele la infinit
Pentru și , comportamentul funcției este determinat de coeficientul principal . Așadar, aspectul graficului depinde de semnul coeficientului .
Dacă , atunci și Dacă , atunci și
Aceasta este o consecință a faptului că o funcție polinomială de grad impar își inversează sensul la extremitățile domeniului și, prin continuitate, are cel puțin o rădăcină realăVicuța Neagoș, Analiză matematică. Noțiuni teoretice și aplicații, Editura UTPRESS, Cluj-Napoca, 2022, cap. 2.1.1 „Limite de funcții”
Deoarece funcția algebrică de gradul al treilea este o funcție polinomială, ea este definită pentru orice număr real, iar graficul său este o curbă continuă, fără asimptote verticale și fără ramuri separate.
În forma redusă , coeficientul determină poziția graficului pe direcția axei ordonatelor. Proprietățile de simetrie depind de valorile coeficienților și . În cazul particular , funcția devine
Graficul acestei funcții se obține din graficul funcției prin deplasare în direcția axei ordonatelor cu unități. Funcția este strict crescătoare pe și are un punct de inflexiune în , unde tangenta este orizontală.
Derivata, monotonia și punctele de extrem
Funcția cubică este derivabilă pe toată axa reală, iar derivata sa este
Derivata a doua este
Intervalele de monotonie ale funcției sunt determinate de semnul derivatei întâi. Punctele în care sunt puncte staționare, iar analiza semnului derivatei permite identificarea eventualelor puncte de extrem local.Gavriil Păltineanu, Analiză matematică. Calcul diferențial, Editura AGIR, București, 2002
În cazul general, ecuația este
, iar discriminantul ei este
De aici rezultă trei situații esențiale
Dacă , funcția nu are puncte de extrem și este strict monotonă pe Dacă , există un singur punct staționar, care este punct de inflexiune cu tangentă orizontală Dacă , există două puncte staționare, unul de maxim local și unul de minim local
Pentru forma redusă , derivata devine , de unde se obțin imediat cazurile următoare:
Dacă , funcția este strict crescătoare pe Dacă , funcția este strict crescătoare pe , dar are în un punct staționar Dacă , funcția are două puncte de extrem, în
În acest ultim caz, punctul din stânga este un punct de maxim local, iar punctul din dreapta este un punct de minim local atunci când .
Pentru , rolurile se inversează. Această clasificare rezultă din semnul derivatei a doua și din teorema lui Fermat.Universitatea din Craiova, Analiză Matematică I – Note de curs, secțiunile privind derivarea funcțiilor și studiul funcțiilor
Exemplul 1: Funcția
Pentru ,
și
Rezultă că funcția este strict crescătoare pe toată axa reală. Are o singură rădăcină reală, , de ordinul al treilea. Punctul este punct de inflexiune cu tangentă orizontală.
Exemplul 2: Funcția
Pentru ,
Rădăcinile reale sunt și , iar rădăcina este dublă.
Derivata este , de unde rezultă că funcția este crescătoare pe , descrescătoare pe și crescătoare pe .
Astfel, este abscisa unui maxim local, iar este abscisa unui minim local. Valorile corespunzătoare sunt și
Derivata a doua este , deci punctul de inflexiune este
Acest exemplu arată că o rădăcină multiplă poate apărea în punctul de contact cu axa , fără ca graficul să treacă prin ea.
Exemplul 3: Funcția
Aici , deci există trei rădăcini reale distincte: , și .
Derivata este , iar punctele staționare sunt
Se obține un maxim local în și un minim local în . Derivata a doua, , arată din nou că punctul de inflexiune este
Punctul de inflexiune
Orice funcție cubică are un singur punct de inflexiune. În forma generală , acesta are abscisa
, iar ordonata
În forma redusă , punctul de inflexiune este . Întrucât , semnul derivatei a doua se schimbă la trecerea prin , ceea ce confirmă schimbarea de convexitate și concavitate.I. Mîrșanu, „Observații metodice privind punctele de inflexiune”, Recreații Matematice, nr. 2/2002.
În cazul , punctul de inflexiune coincide cu rădăcina triplă, iar graficul are în acel punct tangentă orizontală. Exemplul clasic este funcția .Vicuța Neagoș, Analiză matematică. Noțiuni teoretice și aplicații, Editura UTPRESS, Cluj-Napoca, 2022
Relația dintre funcția cubică și ecuația de gradul al treilea
Determinarea zerourilor unei funcții algebrice de gradul al treilea este echivalentă cu rezolvarea ecuației algebrice de gradul al treilea asociată.
Pentru coeficienți reali, funcția algebrică de gradul al treilea admite întotdeauna cel puțin un zero real, deoarece valorile sale tind către infinit de semne opuse pentru și .Lucian Maticiuc, Analiză matematică, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași
După reducerea la forma , discriminantul
desparte cazurile clasice:
Dacă , ecuația are o singură rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate Dacă , există rădăcini multiple; în cazul real, soluțiile pot fi de forma , Dacă , ecuația are trei rădăcini reale distincte
Această clasificare este completată de relațiile lui Viète pentru forma redusă:
Pentru forma care are coeficient principal egal cu 1
, dacă sunt rădăcinile sale, atunci:
În cazul unui polinom cubic nenormalizat, formulele se obțin după împărțirea la coeficientul principal
O rădăcină multiplă a unei ecuații polinomiale este rădăcină multiplă de ordin cu unul mai mic pentru derivata sa. Această proprietate explică de ce rădăcinile duble apar ca puncte de tangență la axa , iar rădăcinile triple ca puncte de inflexiune cu tangentă orizontală. Universitatea Politehnica din București, Algebră – curs universitar
Exemplul 4: Forma redusă
Pentru polinomul , se efectuează schimbarea de variabilă,
Atunci
Prin urmare, ecuația devine
adică
Rădăcinile sunt , iar în variabila inițială rezultă . Acest exemplu arată că se poate utiliza forma redusă pentru calculul rădăcinilor și pentru citirea rapidă a graficului
Relația cu formulele lui Viète
Pentru o funcție cubică care are coeficientul principal 1, relațiile lui Viète leagă coeficienții de rădăcini.
În cazul , conform formulelor lui Viète, coeficienții polinomului se exprimă în funcție de rădăcini prin intermediul sumelor simetrice elementare.
Această legătură este esențială în calculul ecuațiilor cu rădăcini cunoscute. De pildă, dacă se cunosc trei numere și se dorește un polinom cubic cu aceste rădăcini, acesta este:
Prin dezvoltarea produsului se obțin direct coeficienții polinomului. Reciproc, dacă sunt cunoscuți coeficienții, formulele lui Viète permit determinarea sumei rădăcinilor, a sumei produselor acestora luate câte două și a produsului tuturor rădăcinilor.
În studiul algebrei polinoamelor, aceste relații sunt folosite și pentru polinoame ireductibile, discriminant și polinoame simetrice, fiind una dintre punțile clasice dintre algebră și analiza variației unei funcții polinomiale.Teme de algebră II, Facultatea de Matematică și Informatică, Universitatea Babeș-Bolyai, anul universitar 2024/2025, temele despre funcții polinomiale, rădăcini, rădăcini multiple, derivata formală, discriminantul unui polinom și formulele lui Viète
Transformări ale graficului funcției cubice
Graficul unei funcții cubice poate fi obținut din graficul modelului prin transformări afin-analitice simple:University of Oxford, Mathematical Institute, Graphs – Solutions
Translația verticală mută graficul cu unități pe verticală Translația orizontală mută graficul cu unități spre dreapta Simetria față de axa apare la Simetria față de axa apare la Scalarea verticală mărește sau micșorează amplitudinea curbei Compunerea acestor transformări produce orice funcție de forma
În acest cadru, termenul cubic rămâne neschimbat, iar punctul de inflexiune se deplasează împreună cu graficul. Dacă , funcția are un singur punct de inflexiune în .Gregory Dresden, Prakriti Panthi, Anukriti Shrestha, Jiahao Zhang, Cubic Polynomials, Linear Shifts, and Ramanujan Cubics, 2017
Exemplul 5: Transformări ale graficului
Funcția se obține din funcția prin deplasarea graficului cu o unitate spre stânga, urmată de o simetrie față de axa și de înmulțirea valorilor funcției cu , apoi prin deplasarea graficului cu cinci unități în direcția axei ordonatelor. Punctul de inflexiune al graficului este .
Note
Bibliografie
Gavriil Păltineanu, Analiză matematică. Calcul diferențial, Editura AGIR, București, 2002 Mădălina Roxana Buneci, Metode numerice, Universitatea din Târgu Jiu, 2009 Dogaru, Gh.; Colțescu, I., Analiză matematică. Calcul diferențial, 1989. Colțescu, Ion; Dogaru, Gheorghe, Analiză matematică. Calcul diferențial, Editura Academiei Navale „Mircea cel Bătrân”, Constanța, 1999. Colțescu, Ion; Dogaru, Gh., Analiză matematică. Calcul diferențial, Editura Academiei Navale „Mircea cel Bătrân”, Constanța, 2012. Postolache, Mihai, Analiză matematică. Teorie și aplicații, Editura Fair Partners, București, 2000. Nicolescu, Constantin P., Analiza matematică pe dreapta reală. O abordare contemporană, Editura Universitaria, Craiova, 2002. Sebe, Gabriela Ileana; Lascu, Dan, Analiză matematică, vol. II, Editura Academiei Navale „Mircea cel Bătrân”, Constanța, 2022.
Vezi și
Ecuația algebrică de gradul întâi Ecuație algebrică de gradul al doilea Ecuație algebrică de gradul al patrulea Ecuație algebrică de gradul al cincilea Funcții Spline Formulele lui Viete
Legături externe
Categorie:Funcții algebrice Categorie:Funcții polinomiale