În mecanica teoretică centrul de masă al unui corp sau sistem de corpuri este poziția centrului de greutate al acelui corp sau sistem de corpuri aflate într-un câmp gravitațional.Vâlcovici, 1968, p. 170 Poziția centrului de greutate este determinată de echilibrul forțelor gravitaționale care acționează asupra corpului sau a sistemului de corpuri, fiind punctul de aplicație al rezultantei forțelor gravitaționale. Această poziție depinde exclusiv de distribuția maselor, nu de câmpul gravitațional. Ca urmare, noțiunea de centru de masă este mai largă decât cea de centru de gravitație, putându-se aplica, de exemplu, sistemul solar, la care denumirea de „centru de greutate” ar fi improprie.Vâlcovici, 1968, p. 171
Folosirea centrului maselor permite adesea simplificarea ecuației de mișcare, fiind un punct de referință convenabil pentru calculul unor mărimi fizice, precum momentul cinetic sau momentul de inerție. În multe aplicații, ca cele din astrodinamică, corpurile pot fi înlocuite, în scopul analizării mișcării lor, prin masa lor aplicată în centrul lor de masă.
Deși termenii centru de masă și centru de greutate sunt concepte fizice diferite, acestea se suprapun într-un câmp gravitațional uniform, de exemplu pentru corpurile aflate la suprafața Pământului, deoarece Pământul este mult mai mare în raport cu corpurile, iar forțele gravitaționale pot fi considerate paralele.
Într-un câmp gravitațional neuniform centrul de greutate se referă la punctul în care se aplică rezultanta tuturor forțelor gravitaționale aplicate corpului, iar cele două centre nu se mai suprapun. Diferența este mică dar măsurabilă în ceea ce privește, de exemplu, cuplul gravitațional care acționează asupra sateliților artificiali.
O altă denumire a centrului de greutate este baricentrul.
În general, centrul maselor unui corp nu corespunde cu centrul geometric al acestuia, iar acest lucru este exploatat de către inginerii proiectanți de mașini de sport, făcând ca centrul maselor să fie cât mai jos posibil pentru ca mașina să fie cât mai ușor manevrabilă. Un atlet care execută săritura în înălțime în stilul Fosbury Flop, își îndoaie corpul de așa natură încât este posibil să treacă peste bară în timp ce centrul său de masă trece pe sub bară.
Definiție Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale este punctul în raport cu care momentul static al sistemului este nul. Pentru a-l afla se ponderează raza vectoare cu masa ei , sumăm pentru toate masele sistemului și se divide cu masa întregului sistem. Se obține:
În cazul mediilor continue având densitatea și masa totală , suma se transformă în integrală:
Proiecțiile vectorului de poziție pe cele trei axe furnizează coordonatele carteziene ale centrului de masă:
Dacă un corp este omogen, el are aceeași densitate, iar centrul maselor corespunde cu centrul lui geometric.
Exemple Centrul de masă a două particule se află pe dreapta care leagă centrele lor de masă. Centrul de masă se află mai aproape de particula mai grea. Centrul de masă al unui inel cu densitate uniformă se află în centrul inelului, indiferent de materialul din care este alcătuit. Centrul de masă al unui triunghi solid omogen se află la intersecția medianelor triunghiului, care de altfel este și media celor trei vârfuri. Centru de masă al unui dreptunghi omogen se află la intersecția diagonalelor. Într-un corp cu simetrie sferică, centrul de masă se află în centrul geometric. Acest lucru se aplică în mod aproximativ Pământului, deoarece densitatea variază considerabil, dar în adâncime și mai puțin în latitudine și longitudine. Mai general, dacă un corp are un plan de simetrie, centrul maselor se află în acel plan de simetrie. Dacă un corp are o axă de simetrie, centrul maselor se află pe axa de simetrie, iar dacă un corp are un centru de simetrie, centrul maselor se află în acel centru de simetrie.
Istoric Conceptul centrului de masă a fost introdus pentru prima dată de fizicianul și matematicianul grec Arhimede. El a arătat că momentul exercitat pe o pârghie de mai multe greutăți aflate la diferite distanțe de-a lungul ei, este același cu momentul dat de toate greutățile mutate într-un singur punct, centrul lor de masă. În lucrarea Despre Corpurile Plutitoare el a demonstrat că orientarea corpului plutitor este de așa natură încât face ca centrul de masă să fie cât mai jos posibil. A dezvoltat tehnica matematică de găsire a centrului de masă al corpurilor cu densitate uniformă având diverse forme, în particular pentru triunghi, emisferă și pentru trunchiul unui paraboloid circular.
Legea a doua a lui Newton este refomulată în ceea ce privește centrul de masă din prima lege a lui Euler.
Proveniența centrului de masă În următoarele ecuații de mișcare se presupune că există un sistem de particule guvernate de forțe interne și externe. Forțele interioare sunt cauzate de interacțiunea particulelor din interiorul sistemului, iar forțele exterioare sunt forțe care își au originea în afara sistemului, dar interacționează cu particulele din interiorul sistemului. Forțele exterioare nu apar neapărat datorită unui câmp uniform sau dintr-un potențial de forțe.
Pentru orice sistem în care nu există forțe externe, centrul de masă se mișcă cu viteză constantă. Acest lucru este valabil pentru toate sistemele cu forțe clasice interne, câmp electric, câmp magnetic, reacții chimice, etc. Mai precis, acest lucru este adevărat pentru orice forțe interne care satisfac legea a III-a a lui Newton (sisteme nedeformabile).
Impulsul total pentru orice sistem de particule este dat de:
în care M este masa totală, iar vcm este viteza centrului de masă. Viteza poate fi calculată luând derivata funcție de timp a poziției centrului de masă.
O forță analoagă legii a II-a a lui Newton este:
în care F este suma tuturor forțelor externe aplicate sistemului, iar acm este accelerația centrului de masă.
Fie forța internă a sistemului egală cu:
în care ete masa totală a sistemului, iar un vector care încă nu este definit. Deoarece iar atunci
Se obține deci o definiție vectorială a centrului de masă în funcție de forța totală din sistem. Această formă este folositoare pentru problema celor două corpuri.
Este logic să cerem ca, pentru orice sistem de mase, centrul de masă să se afle în interiorul înfășurătoarei convexe a sistemului. În particular, pentru două particule punctiforme, centrul de masă se află pe segmentul care leagă vârfurile vectorilor r1 și r2. Geometric, R - r1 = k(r2 - R) pentru o anumită valoare a constantei k. Luând distanțele în ambele părți ale ecuației, obținem d1 = kd2, în care d1 este distanța de la centrul de masă la corpului 1, iar d2 este distanța de la centrul de masă la corpului 2. Constanta k va depinde numai de masele m1 și m2 și vom examina natura acestei dependențe.
Presupunem că masa totală M este diferită de zero. Este clar că dacă m2 = 0, centrul de masă coincide cu cel al corpului 1, iar d1 = 0. Aceasta înseamnă că d2 = D, iar m1 = M. Simetria cere ca relația să rămână adevărată dacă schimbăm corpul 1 cu corpul 2.
Cel mai simplu model care satisface cerințele de mai sus este un model liniar, în care d1 = (D/M)m2 și d2 = (D/M)m1.
În acest model avem k = d1/d2 = m2/m1. După înmulțirea ecuației vectoriale cu m1, obținem m1(R - r1) = m2(r2 − R), sau (m1 + m2)R = m1r1 + m2r2. Astfel că,
Să presupunem acum că există și corpul al treilea de masă m3 și având vectorul de poziție r3. Pentru moment să rupem simetria celor trei corpuri și definim centrul de masă al celor trei corpuri ca centrul de masă a două corpuri determinat de corpul al treilea împreună cu un singur corp de masă M0 = m1 + m2 plasat în centrul de masă al corpurilor 1 și 2, al cărui vector de poziție este R0. Obținem:
Deoarece R se dovedește a fi simetric funcție de mi și ri, nu contează modul în care combinăn corpurile, în felul acesta putând extinde formula pentru n corpuri, obținând:
Deci modelul simplu al centrului de masă al celor două corpuri determină complet și unic formula pentru orice număr de mase. Scriind M = m1 + m2 + ... + mn, formula centrului de masă poate fi exprimată sub forma:
Diferențiind ambele părți ale ecuației obținem:
adică, suma impulsului unui număr oarecare de corpuri este egală cu impulsul centrului lor de masă. Acesta este principiul care dă expresia precisă a noțiunii intuitive că sistemul ca un tot se comportă ca masa totală M plasată în R, și justifică modelul simplu liniar unidimensional al centrului de masă.
Proprietăți ale centrului de masă Centrul de masă este punctul geometric asociat sistemului în care se consideră concentrată toată masa acestuia, fiind deci util în descrierea mișcării globale a sistemului: Impulsul total al sistemului este egal cu masa sistemului înmulțită cu viteza centrului de masă:
Rezultanta forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu masa sistemului înmulțită cu accelerația centrului de masă:
Momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan este egal cu produsul dintre masa sistemului și distanța centrului de masă la acel plan:
Dacă sistemul de puncte materiale are un plan, o axă sau un centru de simetrie, centrul de masă se află în acel plan, pe acea axă sau în acel centru.
Demonstrație. Presupunând că sistemul admite planul ca plan de simetrie, oricărui punct de masă îi corespunde un punct de aceeași masă Cum rezultă deci centrul de masă se află în planul
Dacă se presupune că sistemul admite axa ca axă de simetrie, atunci unui punct de masă îi corespunde totdeauna un punct de aceeași masă Cum rezultă deci centrul de masă se află pe axa
Considerând că sistemul admite originea sistemului de referință ca centru de simtrie, din condițiile de simetrie rezultă că oricărui punct de masă îi corespunde întotdeauna un punct de aceeași masă Cum momentele statice rezultă deci centrul de masă se află în polul O. Dacă un sistem de puncte materiale se compune dintr-un număr de p subsisteme de mase și vectori de poziție ai centrelor de masă centrul de masă al sistemului se obține considerând masele sistemelor componente concentrate în centrele de masă
Demonstrație. Din relația se obține:
Deoarece:
relațiile (5.5) pot fi scrise:
Vectorul de poziție al centrului maselor sistemului este:
Dacă un sistem de puncte materiale poate fi considerat ca provenind dintr-un sistem din care s-a extras un sistem și dacă se cunosc masele și centrele de masă definite de vectorii de poziție atunci centrul de masă al sistemului se poate obține considerând că masele și s-ar concentra în centrele de masă și
Demonstrație. Vectorul de poziție al centrului de masă C al sistemului are expresia:
Referitor la sistemele și se poate scrie conform (5.7) și (5.8):
Pentru întreg sistemul se obține:
Observație. Proprietățile centrului de masă prezentate pentru sisteme de puncte materiale sunt valabile și în cazul sistemelor de corpuri omogene.
Rotația și centrul de masă
Centrul maselor numit adesea și centrul de greutate datorită câmpului gravitațional uniform g care acționează asupra sistemului ca și când masa M a sistemului se află concentrată în centru de masă R. Acest lucru este văzut cel puțin în două feluri: Energia potențială a unui sistem este egală cu energia potențială a unei particule care are aceeași masă M localizată în R. Momentul gravitațional al unui sistem egalează momentul unei forțe Mg care acționează în R:
Dacă câmpul gravitațional care acționează asupra unui corp nu este uniform, atunci centrul de masă nu are neapărat această proprietate convenabilă în ceea ce privește gravitația. Această situație a fost exprimată de Feynman în celebra sa carte The Feynman Lectures on Physics: The Feynman Lectures Set on Amazon