Функциона́льный ана́лиз — раздел анализа, изучающий топологические векторные пространства (прежде всего бесконечномерные) и их линейные отображения. Важнейшими примерами таких пространств служат пространства функцийНа самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V. (откуда и название «функциональный анализ»).

К разделам функционального анализа часто относят теорию меры и интеграла, теорию функций, теорию операторов, а также дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился рядом более специальных дисциплин, возникших на основе классических разделов.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описываются на его языке. В частности, в XXI веке он широко используется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике, теории струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и в других областях. Теория преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.

Некоторые понятия функционального анализа К числу основных объектов изучения относятся пространства непрерывных функций и пространства интегрируемых функций. Важнейшими понятиями являются мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для описания отображений пространств используются термины «оператор» и «функционал».

История Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах.

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики как мощный инструмент. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов:

В конце 90-x годов XX века в копилку функционального анализа добавилось направление, посвящённое вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, например, высокой скоростью сходимости. Вклад в развитие внесла И. Добеши.

Ключевые результаты Принцип равномерной ограниченности применимый к набору операторов с точной границей. Принцип открытости отображения. Как её следствия — теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору, теорема о замкнутом графике. Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах. Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики. Теорема Гельфанда — Наймарка Теорема Рисса — Фреше

Направления исследований Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви: Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах. Геометрия банаховых пространств. Некоммутативная геометрия. Разработана Аленом Конном, частично построена на аппроксимации Джорджа Маки (George Mackey) в эргодической теории. Теория изображений. Связана с квантовой механикой. Квантовый функциональный анализ. Исследование пространств операторов вместо пространств функций. Нелинейный функциональный анализ. Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей и др. в рамках функционального анализа.

См. также Операторная алгебра Векторное исчисление

Примечания

Литература Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с. Богачёв В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с. ISBN 978-5-93972-742-6. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. — М.: ИЛ, 1962. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. — М.: Мир, 1966. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. — М.: Мир, 1974. Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. — М.: Мир, 1967. — 624 с. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-е изд. М.: Наука, 1965. 520 c. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу = Topics in nonlinear functional analysis. — М.: Мир, 1977. — 232 с.

Пугачёв В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. — 744с. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c. Рудин У. Функциональный анализ = Functional analysis. — М.: Мир, 1975. — 443 с.

Хелемский A. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009. — 304с. Хелемский A. Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2004. — 552с. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с. Сборник задач по функциональному анализу : учеб.-метод. пос. для студ. мех.-матем. факультета / А. П. Гуревич, В. В. Корнев, А. П. Хромов; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. — Саратов : Изд-во СГУ, 2009. — 162 с. : ил.; ISBN 978-5-292-03915-0 Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с. Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 510 с. Функциональные пространства : уч. пос. для вузов : рек. Учеб.-метод. советом МФТИ / Г. Н. Яковлев ; Минобр РФ, МФТИ (ГУ). — М. : МФТИ, 2000 .— 136 с. — 500 экз. — ISBN 5-7417-0144-2.

*