В точка самосоприкосновения () или двойной касп — вид особой точки. Определяется как точка, где две (или более) соприкасающиеся кривой окружности в этой точке касаются. Это означает, что две ветви кривой имеют одну и ту же касательную в двойной точке.

Каноническим примером служит кривая

Другой пример точки самоприкосновения — кривая, показанная на рисунке и имеющая уравнение

Некоторые обобщения Рассмотрим гладкую, принимающую вещественные значения функцию двух переменных, скажем, f(x, y), где x и y — вещественные числа. Таким образом, f отображает плоскость в прямую. На пространство всех таких гладких функций действует группа диффеоморфизмов плоскости и диффеоморфизмов прямой, то есть диффеоморфизмы меняют координаты как в области определения, так и в области значений. Это действие разбивает всё на классы эквивалентности, то есть орбиты действия группы.

Одно такое семейство классов эквивалентности обозначается , где k — неотрицательное целое. Обозначение ввёл В. И. Арнольд. Говорят, что функция f имеет особенность типа , если она лежит на орбите x2 ± yk+1, то есть существует диффеоморфическое преобразование координат в области определения и в области значений, которое переводит f в одну из этих форм. Говорят, что эти простые формы x2 ± yk+1 задают нормальные формы для особенностей типа .

Кривая с уравнением f = 0 будет иметь в начале координат точку самоприкосновения тогда и только тогда, когда f имеет особенность типа A3− в начале координат.

Заметим, что точка самопересечения кривой (x2 − y2 = 0) соответствует A1−-особенности. Точка самоприкосновения соответствует A3−-особенности. Фактически, любая особенность типа A2n+1−, где n ≥ 0 — целое число, соответствует кривой с самопересечением. С увеличением порядок самопересечения увеличивается — поперечное пересечение, простое касание, и так далее.

Особенности типа A2n+1+ для действительных чисел не представляют интереса — все они соответствуют изолированным точкам. В комплексных числах особенности A2n+1+ и A2n+1− эквивалентны — (x,y) → (x, iy) даёт требуемый диффеоморфизм нормальных форм.

См. также Изолированная точка кривой Касп или Точка возврата

Примечания

Литература

Ссылки

Категория:Дифференциальная геометрия кривых Категория:Кривые Категория:Алгебраические кривые