А́том водоро́да — физико-химическая система, состоящая из атомного ядра, несущего элементарный положительный электрический заряд, и электрона, несущего элементарный отрицательный электрический заряд. В состав атомного ядра, как правило, входит протон или протон с одним или несколькими нейтронами, образуя изотопы водорода. Электрон образует электронную оболочку; наибольшая вероятность обнаружения электрона в единичном объёме наблюдается для центра атома. Интегрирование по сферическому слою показывает, что наибольшая вероятность обнаружения электрона в единичном слое соответствует среднему радиусу, равному боровскому радиусу ангстрема.
Атом водорода имеет особое значение в квантовой механике и релятивистской квантовой механике, поскольку для него задача двух тел имеет точное или приближённое аналитическое решение. Эти решения применимы для разных изотопов водорода (с соответствующими поправками).
В квантовой механике атом водорода описывается двухчастичной матрицей плотности или двухчастичной волновой функцией. Также упрощённо рассматривается как электрон в электростатическом поле бесконечно тяжёлого атомного ядра, не участвующего в движении (или просто в кулоновском электростатическом потенциале вида 1/). В этом случае атом водорода описывается редуцированной одночастичной матрицей плотности или волновой функцией.
В 1913 году Нильс Бор предложил модель атома водорода, имеющую множество предположений и упрощений, и вывел из неё спектр излучения водорода. Предположения модели не были полностью правильны, но тем не менее приводили к верным значениям энергетических уровней атома.
Результаты расчётов Бора были подтверждены в 1925—1926 годах строгим квантовомеханическим анализом, основанном на уравнении Шрёдингера. Решение уравнения Шрёдингера для электрона в электростатическом поле атомного ядра выводится в аналитической форме. Оно описывает не только уровни энергии электрона и спектр излучения, но и форму атомных орбиталей.
Решение уравнения Шрёдингера Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует тот факт, что кулоновский потенциал является изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами, обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции (орбитали) не обязательно сферически симметричны, их зависимость от угловой координаты следует полностью из изотропии основного потенциала: собственные значения оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состояний оператора углового момента. Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственные состояния гамильтониана задаются двумя квантовыми числами углового момента и (целые числа). Квантовое число углового момента может принимать значения 0, 1, 2… и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать оно определяет проекцию углового момента на (произвольно выбранную) ось .
В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. В потенциале 1/ радиальные волновые функции записываются с использованием полиномов Лагерра. Это приводит к третьему квантовому числу, которое называется основным квантовым числом и может принимать значения 1, 2, 3… Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничено основным квантовым числом: оно может изменяться только до , то есть .
Из-за сохранения углового момента состояния с одинаковыми , но различными в отсутствие магнитного поля имеют одну и ту же энергию (это выполняется для всех задач с аксиальной симметрией). Кроме того, для водородного атома состояния с одинаковыми , но разными также вырождены (то есть имеют одинаковую энергию). Однако это свойство — особенность лишь атома водорода (и водородоподобных атомов), оно не выполняется для более сложных атомов, которые имеют (эффективный) потенциал, отличающийся от кулоновского (из-за присутствия внутренних электронов, экранирующих потенциал ядра).
Если мы примем во внимание спин электрона, то появится последнее, четвёртое квантовое число, определяющее состояния атома водорода — проекция углового момента собственного вращения электрона на ось . Эта проекция может принимать два значения. Любое собственное состояние электрона в водородном атоме полностью описывается четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это объясняет также, почему выбор оси для квантования направления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных и полученных для другой выделенной оси всегда представляется как подходящая суперпозиция различных состояний с разными (но тем же самым ), которые были получены для .
Рассмотрим сейчас решение уравнения Шрёдингера для атома водорода. Так как потенциальная функция электрона в атоме водорода имеет вид где — заряд электрона (и протона), — радиус-вектор, то уравнение Шрёдингера запишется следующим образом:
Здесь — волновая функция электрона в системе отсчёта протона, — масса электрона, — постоянная Планка, — полная энергия электрона, — оператор Лапласа. Так как потенциальная функция зависит от , а не от координат по отдельности, удобно будет записать лапласиан в сферической системе координат В ней он выглядит следующим образом:
Уравнение Шрёдингера в сферических координатах:
В этом уравнении — функция трёх переменных Разделим его на три более простых уравнения. Для этого представим функцию как произведение трёх функций: Эти функции будем обозначать просто Тогда:
После подстановки значений частных производных в уравнение Шрёдингера получим:
Умножим уравнение на
Второе слагаемое тут зависит только от . Перенесём его в правую часть равенства.
Равенство возможно, когда обе части равны какой-то постоянной величине. Обозначим её Следовательно:
Решением этого уравнения являются функции:
Угол может изменяться от 0 до 2. Функция должна быть периодической с периодом 2. Это возможно, только если Таким образом, из решения уравнения Шрёдингера получаем значение одного из квантовых чисел (конечно, из него можно получить их все). Число называется магнитным квантовым числом.
Далее, интегрируя квадрат модуля функции от 0 до 2 и приравнивая полученное выражение к единице, получим, что
Далее рассмотрим левую часть уравнения (1). Она, конечно, равна
Разделим уравнение на
После аналогичного вышеуказанному перенесению второго слагаемого в правую часть и обозначения величины, которой равны эти части, через получаем:
Решение этих двух последних уравнений приводит к значениям и соответственно. Три квантовых числа в совокупности полностью описывают состояния электрона в атоме водорода.
Модуль полной энергии электрона в стационарном состоянии в атоме водорода обратно пропорционален Число называется главным квантовым числом. Оно может иметь значения от 1 до Его связь с энергией см. ниже.
Число называется азимутальным квантовым числом и определяет орбитальный момент количества движения электрона и форму электронного облака; может иметь значения от 0 до ( здесь относится к энергетическом уровню, на котором находится рассматриваемый электрон).
Магнитное квантовое число определяет проекцию орбитального момента количества движения на выбранную ось в магнитном поле. Эта проекция равна
Математическое описание атома водорода
Энергетический спектр Энергетические уровни атома водорода, включая подуровни тонкой структуры, записываются в виде:
где — постоянная тонкой структуры, — собственное значение оператора полного момента импульса.
Энергию можно найти в простой модели Бора, с массой электрона и зарядом электрона :
(в системе СИ),
где — постоянная Планка, электрическая постоянная. Величина (энергия связи атома водорода в основном состоянии) равна . Эти значения несколько отличаются от действительного значения , поскольку в расчёте не учтена конечная масса ядра и эффекты квантовой электродинамики.
Волновые функции В сферических координатах волновые функции имеют вид:
где: — Боровский радиус, — обобщённые полиномы Лагерра степени от функции — нормированные на единицу сферические функции.
Угловой момент Собственные значения для оператора углового момента:
Нахождение энергии электрона из модели Бора Вычислим уровни энергии атома водорода без учёта тонкой структуры, используя простую модель атома Бора. Для этой цели можно сделать грубое допущение электрона, двигающегося по круговой орбите на фиксированном расстоянии. Приравнивая кулоновскую силу притяжения центростремительной силе получим:
Здесь масса электрона, его скорость на орбите радиуса диэлектрическая проницаемость вакуума (электрическая постоянная).
Отсюда кинетическая энергия электрона:
где расстояние от электрона до ядра.
Потенциальная его энергия:
Полная энергия, соответственно, равна:
Для нахождения радиуса стационарной орбиты с номером рассмотрим систему уравнений, в которой второе уравнение есть математическое выражение первого постулата Бора
Отсюда получаем выражение для радиуса стационарной орбиты с номером :
Радиус первой орбиты оказывается равным метра. Эта константа называется боровским радиусом.
Подставляя это значение в выражение для энергии, получим:
Отсюда мы можем найти волновое число (по определению это обратная длина волны или число длин волн, укладывающихся на ) фотона, излучаемого атомом водорода за один переход из возбуждённого состояния с главным квантовым числом в состояние с неким фиксированным главным квантовым числом
где постоянная Ридберга в системе СГС (она равна ).
Визуализация орбиталей атома водорода Изображение справа показывает первые несколько орбиталей атома водорода (собственные функции гамильтониана). Они представляют собой поперечные сечения плотности вероятности, величина которой отражена цветом (чёрный цвет соответствует минимальной плотности вероятности а белый — максимальной). Квантовое число углового момента обозначено в каждой колонке, используя обычные спектроскопические обозначения ( означает = 0; : = 1; : = 2). Главное квантовое число (= 1, 2, 3…) отмечено справа от каждого ряда. Для всех картин магнитное квантовое число равно 0, и сечение взято в плоскости — , — вертикальная ось. Плотность вероятности в трёхмерном пространстве получается при вращении картинки вокруг оси .
Основное состояние, то есть состояние самой низкой энергии, в котором обычно находится электрон, является первым, состоянием 1 ( = 1, = 0). Изображение с большим количеством орбиталей доступно до более высоких чисел и . Отметим наличие чёрных линий, которые появляются на каждой картинке, за исключением первой. Они — узловые линии (которые являются фактически узловыми поверхностями в трёх измерениях). Их общее количество всегда равно − 1, которое является суммой числа радиальных узлов (равного ) и числа угловых узлов (равного ).
Строение и свойства атома водорода
Образование атома водорода и его спектр излучения
При попадании в электрическое поле положительно заряженного протона и отрицательно заряженного электрона происходит захват последнего протоном — образуется атом водорода. Образовавшийся атом водорода находится в возбуждённом состоянии. Время жизни атома водорода в возбуждённом состоянии — доли или единицы наносекунд (10−8—10−10сек), однако очень высоковозбуждённые атомы, находящиеся в состоянии с большими главными квантовыми числами при отсутствии столкновений с другими частицами, в очень разрежённых газах могут существовать до нескольких секунд. Снятие возбуждения атома происходит за счёт излучения фотонов с фиксированной энергией, проявляющихся в характерном спектре излучения водорода. Поскольку объём газообразного атомарного водорода содержит множество атомов в различных состояниях возбуждения, спектр состоит из большого числа линий.