Антидеси́ттеровское простра́нство (АдС, AdS) — псевдориманово многообразие постоянной отрицательной кривизны. Его можно считать псевдоримановым аналогом -мерного гиперболического пространства. Названо как противопоставление пространству де Ситтера, обозначается обычно .
Пространство AdS играет весьма важную роль в общей теории относительности, поскольку возникает как максимально симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме с отрицательной космологической постоянной :
Определение AdS как поверхности вложения Пространство можно вложить в плоское пространство S. Kobayashi and K. Nomizu, «Foundations of Differential Geometry», Volume 1. A Wiley Publication in Applied Statistics, Wiley, 1996..
Данное вложение выглядит как однополостный гиперболоид, задаваемый уравнением
где метрика в объемлющем пространстве задана как:
а константа является радиусом пространства . Она выражается через космологическую постоянную в уравнении Эйнштейна:
Приведённое вложение в служит стандартным определением пространства , которое подразумевается далее в текстеСуществуют другие вложения, в которых глобальное время может быть не замкнутым..
Уравнение () сохраняется при вращениях в объемлющем пространстве. Вследствие этого группа изоморфна группе изометрий (преобразований, не меняющих расстояние) пространства . Данное свойство играет весьма важную роль в AdS/CFT соответствии в теории струн, поскольку группа является группой конформных преобразований в четырёхмерном пространстве Минковского.
Определение AdS как однородного пространства Существует также топологический способ определения пространства как однородного пространства, то есть множества точек с выделенным транзитивным действием некоторой группы на нем. В случае максимально симметричных пространств (то есть однородных и изотропных пространств), является группой изометрий, которая полностью определяет топологию таких пространствT. Koda, «An introduction to the geometry of homogeneous spaces», 2009.. Например, в случае двумерной сферы имеется естественное вложение в . Ограничивая действие группы вращений в на видно, что для каждой точки стабилизатором является группа , то есть вращения в плоскости, касательной к в точке , не меняют положения точки . Отсюда следует, что пространство двумерной сферы можно определить как отношение двух ортогональных группБолее строго, в топологии говорят о структуре главного расслоения над базой с проекцией и типичным слоем . Поскольку и являются группами Ли, а есть гомоморфизм (с ядром ), то можно написать: .: . Рассуждая аналогично при вложении пространства в , можно определить пространство AdS как отношение двух обобщённых ортогональных групп: .
Общие свойства метрики пространства AdS Существует много способов записи (параметризаций) метрики пространства AdS. Все они являются различными решениями уравнения вложения (). Для пространств с постоянной кривизной общим является возможность представить метрику в конформно-плоском видеL. P. EISENHART, «Riemannian Geometry», p. 84-85. Princeton UniversityPress, 1949.: , где , , есть некоторая знакопостоянная функция. Например, уравнение вложения () можно решить, вводя на AdS локальные координаты , соответствующие отображению (стереографическая проекция): , , где , , что приводит к известной параметризации метрики пространства AdS как типичного гиперболического пространства (см., например,):
Здесь
есть постоянная секционная кривизнаM. P. d. Carmo, «Riemannian geometry» / Manfredo do Carmo; translated by Francis Flaherty. Mathematics. Theory and applications, Boston: Birkhäuser, 1992.. Через по Лемме Шура (Риманова геометрия) выражается тензор Римана пространств постоянной кривизны:
Отсюда можно получить выражения для тензора Риччи и скалярной кривизны пространства :
Как видно из (), ненулевая кривизна у -мерного пространства возникает вследствие ненулевой космологической постоянной в уравнениях Эйнштейна: . Можно показать, что тензор Вейля пространства AdS обращается в нольP. Petersen, «Riemannian Geometry». Graduate Texts in Mathematics, Springer New York, 2006.. Для размерностей это является необходимым и достаточным условием для того, чтобы пространство было конформно-плоским. В вышеприведённом представлении метрика имеет координатную особенность, в итоге данная координатная сетка покрывает не всё многообразие. Подобное свойство имеет место и для большинства других покрытий. Наиболее известные покрытия пространства AdS приведены ниже.
Глобальные координаты на AdSd+1 В физических приложениях более удобным является общее решение уравнения () в следующем виде:
где выражает угловую часть гиперсферических координат, определённых условием: . Например, для d=3: , , . В терминах координат вложения () метрика пространства принимает вид:
где есть квадрат дифференциала телесного угла на . Например, для d=3:
В общем виде, в силу , можно записать:
Из уравнения () видно, что введённая метрика имеет характерный масштаб длин , то есть радиус пространства определяет не только кривизну, но и масштаб расстояний рассматриваемого пространства. При этом из () видно, что топологически , что соответствует однополостному гиперболоиду (Рис.1).
После замены переменных:
метрика () принимает вид:
Здесь изменён знак метрики объемлющего пространства (вместе со знаком уравнения ()). В метрике () появляется компактификация пространства по радиальной координате, так как новая радиальная координата пробегает конечный интервал значений:
Часто удобнее ввести радиальную координату в () обратной подстановкой,
и рассматривать метрику:
Здесь не связана с в метрике (). Метрика (), при условии , , полностью эквивалентна метрике (). Метрику вида () называют глобальнойJ. Penedones, «TASI lectures on AdS/CFT», in Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: New Frontiers in Fields and Strings, 8 2016.. В данной параметризации удобно положить и изображать (локально) в виде цилиндра с осью симметрии, совпадающей с осью времени и радиальной координатой , как это показано на Рис.2.
Из того факта, что метрика () является индуцированной в (изменён знак метрики объемлющего пространства), можно установить связь с координатами вложения:
В терминах глобальных координат в правых частях (), глобальные симметрии видны следующим образом симметрии: имеется вращений вокруг , 1 вращение во времениподобной плоскости , и наконец бустов, соответствующих комбинациям и c пространственно-подобными осями . При этом вместе эти преобразования образуют группу .
Часто оказывается удобна другая формулировка глобальной метрики на , получаемая следующей заменой координат в ():
которая приводит () к виду: . Также данный вид можно прямо получить из координат вложения (). Это выражение есть глобальная метрика в гиперболической форме, при этом точка в этой метрике особенной не является, и Метрику в гиперболической форме можно также получить, сделав в () замену и воспользовавшись ().}.
Координаты Пуанкаре на AdS Рассмотрение пространства AdS в глобальных координатах осложнено с физической точки зрения, так как время в глобальных координатах циклично, как видно из (). На самом деле, когда под AdS имеется ввиду соответствующее решение уравнений Эйнштейна в пустом пространстве, всегда должно подразумеваться, что временная координата размотана, иначе возникают проблемы с причинностью (существование замкнутых временных циклов). Данная тонкость отличает физический подход к пространству AdS от чисто математического. Эту тонкость можно обойти, если пользоваться специальными накрытиями глобальных координат, которые описывают только часть пространства AdS. Наиболее используемым универсальным накрытием глобальных координат в AdS является переход к координатам Пуанкаре (Poincare Patch). Особая роль этих координат состоит в том, что именно в такой параметризации пространство AdS возникает в широко известном AdS/CFT соответствии в теории струн.
Координаты Пуанкаре пространства AdS(E)d+1 (Евклидова версия) Сделаем поворот Вика для координаты и введём координаты светового конуса в евклидовой сигнатуре:
Назовём евклидовой версией геометрическое место точек:
Это означает, что при фиксированном можно представлять как двуполостный гиперболоид в плоскости . Далее рассмотрим следующую замену координат:
Такая замена при позволяет записать уравнение вложения () в виде:
Таким образом, можно параметризовать всё пространство с помощью :
Метрика в объемлющем пространстве в терминах , с учётом (), запишется в виде:
А индуцированная метрика стандартно получается из () с учётом связи () и заменой знака:
А также метрика () примет вид:
Последующие замены и приводят к метрике:
Метрика () есть выражение метрики в координатах Пуанкаре — так называемый Euclidean Poincare Patch (EPP) — и является универсальном накрытием пространства . Нетрудно установить связь между глобальными координатами в евклидовой сигнатуре, координатами Пуанкаре и координатами объемлющего пространства. Пользуясь уравнениями (), () и (), с учётом проделанных замен, находим:
Искомая связь:
В евклидово время не циклично уже в глобальных координатах, однако данные координаты Пуанкаре могут быть аналитически продолжены на Лоренцеву сигнатуру объемлющего пространства, что показано ниже. Из первого уравнения в () видно, что , а точке соответствует граница . Схематически соотношения () проиллюстрированы на Рис.3. В евклидовой сигнатуре координаты Пуанкаре, с учётом части , описывают всё пространство AdS и в этом смысле эквивалентны глобальным координатам. Как показано ниже, для Лоренцевой сигнатуры характерно сужение области, описываемой в координатах Пуанкаре. Это вызвано тем, что время в глобальных координатах циклично, в отличие от евклидова времени .
Координаты Пуанкаре в AdSd+1 Координаты Пуанкаре для определяются также, как для AdS. Немного меняя обозначения и записывая уравнение вложения в виде:
можно, следуя рассуждениям предыдущего пункта, ввести аналоги координат светового конуса и и переписать () в виде:
где , а индексы пробегают значения . Введем новые координаты:
Далее, полностью повторяя рассуждения ()-() и выбирая , , приходим к метрике в координатах Пуанкаре:
где теперь обозначает время в координатах Пуанкаре. Далее, чтобы не путать с временем в глобальных координатах, будет обозначать последнее как . Соотношения между глобальными координатами вложения и координатами Пуанкаре для , аналогичные соотношениям (), запишутся как:
Эти уравнения решаются относительно в терминах , в которых удобно сделать замену ():
Из этих соотношений следует, что при , глобальное время теперь принимает значения на конечном интервале (см. Рис.4).
Важно отметить, что в евклидовой сигнатуре координаты Пуанкаре покрывают все пространство AdS как и глобальные координаты (это видно из присутствия гиперболических функций в соотношениях (). Однако в Лоренцевой сигнатуре координаты Пуанкаре покрывают только небольшую подобласть всего AdS, ограниченную причинным ромбом, обернутым вокруг AdS-цилиндра (см. Рис.4). Вообще говоря, глобальные координаты для преобразуются (изометрически) по представлениям подгруппы группы , а в координатах Пуанкаре () становятся очевидны -мерная группа Пуанкаре и дилатации (растяжение всех координат одновременно на одну величину).
Специальные конформные преобразования в координатах Пуанкаре Кроме дилатаций , являющихся очевидной симметрией метрики (), в алгебре изометрий () существуют менее очевидные инфенитизимальные преобразования координат:
Здесь есть малый вектор, лежащий в Пуанкаре-подпространстве (то есть координата вектора в направлении равна нулю: ) в координатах Пуанкаре. Изометричность данного преобразования может быть проверена прямой подстановкой.