В теории узлов мутация — это специальный вид преобразования узлов. Мутация выбирает маленькую часть узла и либо отражает, либо поворачивает её, вследствие чего получается некий новый (возможно исходный) узел, который называется мутантом исходного.
Определение Пусть K — узел, заданный в виде . Пусть D — диск в плоскости диаграммы, границы которого пересекают K ровно четыре раза. Можно считать (в случае необходимости используем изотопию), что диск геометрически круглый и четыре точки пересечения расположены на равном расстоянии. Часть узла внутри диска называется диаграммой . Имеется два отражения, которые меняют местами пары концов нитей на диаграмме этого тэнгла. Кроме того, имеются также вращения. Мутация заменяет исходный тэнгл на тэнгл, полученный любой из этих операций. В результате получается узел, который называется мутацией узла K.
Пару узлов, связанных мутацией, называют узлами-мутантами или просто мутантами. Здесь слово «мутант» используется в значении «результат мутации» и всегда имеет отношение сразу к двум узлам. Пример использования: Узел мутант узла , узлы и мутанты (по отношению друг ко другу).
Свойства Если один мутант тривиален, то и другой тривиален. Иными словами, из тривиального узла мутацией можно получить только тривиальный узел, или, что равносильно, тривиальный узел является изолированной вершиной в гордиевом графе мутации. Многие классические инварианты у мутантов совпадают, поэтому нередко задача различения двух узлов, связанных мутацией, оказывается достаточно сложной. Так, например, узлы-мутанты имеют одинаковый гиперболический объём (результат Рубемана), Многочлен Александера, сигнатуру, гомологии , n-раскрашиваемость и многочлен HOMFLY. Однако группа узла и род могут различить мутантов.
Примеры Пара узлов, Конвея и Киношиты-Терасака, являются мутантами друг друга, но имеют различный род, равный 3 и 2 соответственно.
Примечания
Литература
Категория:Теория узлов