Пятиугольный паркет — в геометрии: замощение, составленное из выпуклых пятиугольников. Замощение из правильных пятиугольников в евклидовом пространстве невозможно, поскольку общий угол правильного пятиугольника равен 108° и не делит ни 180°, ни 360°. Однако ими можно замостить гиперболическую плоскость и сферу.
Для плоскости же задача о полном описании всех возможных замощений неправильными пятиугольниками (описания всех видов пятиугольников, для которых возможно такое замощение) является очень сложной и исследования по ней ведутся больше века.
Замощение плоскости одной выпуклой плиткой
Количество паркетов из одной выпуклой плитки
Пятиугольные паркеты вообще Предполагается, что существует всего 15 классов пятиугольников, бесконечные паркеты из которых могут замостить плоскость. Поиск всех таких классов продолжался до 2015 года, а 1 мая 2017 года Микаэль Рао предъявил доказательство того, что других таких пятиугольников не существует. По состоянию на декабрь 2017 года компьютерная программа, используемая и специально написанная для доказательства теоремы, независимо воспроизведена и проверена , профессором математики Питсбургского университетаПубликация о работе Хейлза на сайте , а остальная часть статьи всё ещё находится на рецензировании.
Паркеты типа «ребро к ребру» Более простой задачей является отыскание всех паркетов, составляющих замощение «ребро к ребру», то есть когда ни одна сторона ни одной плитки не совпадает сразу с двумя сторонами двух других (или, другими словами, когда никакая из вершин многоугольников замощения не лежит посреди некоторой стороны другого многоугольника).
Всего существует восемь видов пятиугольных паркетных выпуклых плиток «ребро к ребру». Тот факт, что других таких видов паркетных плиток, кроме уже найденных, не существует, был доказан Ольгой Багиной на Омском алгебраическом семинаре в 2011 году. Доказательство было опубликовано в 2017 году.
Независимо от Багиной доказательство получил также Сугимото (Sugimoto) в 2012 году.
Известные типы паркетов Ни один из пятнадцати известных классов доступных для замощения пятиугольников не накрывается полностью объединением других. Тем не менее, некоторые пары классов могут пересекаться. Кроме того, в некоторых классах есть многоугольники, для которых кроме стандартной схемы замощения плоскости плитками этого класса существуют ещё и альтернативные способы замощения.
В приведенной классификации плиток углы пятиугольника обозначены через A,B,C,D,E, а длины его сторон через a, b, c, d, e, где |EA|=a, |AB|=b, |BC|=c, |CD|=d, |DE|=e. Многие из этих классов имеют степени свободы, выражающиеся уравнениями для углов и сторон. В частности, классы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 допускают параметры, при которых пятиугольники становятся невыпуклыми.
+ 15 одноплиточных пятиугольных паркетов12345B+C=180°A+D+E=360°c=eB+D=180°a = b, d = c + eA = C = D = 120°b = c, d = eB = D = 90°a = b, d = eA = 60°, D = 120°678910a = d = e, b = cB + D = 180°, 2B = Eb = c = d = eB + 2E = 2C + D = 360°b = c = d = e2B + C = D + 2E = 360°b = c = d = e2A + C = D + 2E = 360°a = b = c + eA = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°11121314152a + c = d = eA = 90°, 2B + C = 360°C + E = 180°2a = d = c + eA = 90°, 2B + C = 360°C + E = 180°d = 2a = 2eB = E = 90°, 2A + D = 360°2a = 2c = d = eA = 90°, B ≈ 145,34°, C ≈ 69,32°,D ≈ 124,66°, E ≈ 110,68°(2B + C = 360°, C + E = 180°).a = c = e, b = 2aA = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°
Периодические замощения могут быть характеризованы своей группой симметрии, например, p2 (2222) для замощений, содержащих 4 точки вращения (с учётом параллельного переноса) порядка 2 (изображение переходит в себя при повороте на 360/2=180°). Это используется далее в иллюстрациях, где одинаковыми цветами показаны, плитки мозаики, переходящие друг в друга при соответствующем повороте.
Примитивной ячейкой будем называть наименьшую из плиток, которая при копировании и переносе образует всю данную мозаику.
Типы 1,2,3,4,5 (Рейнхардт, 1918) Первые пять типов замощений описал в 1918 году . (замечание: в работе присутствует как минимум одна ошибка — сумма углов γ+δ в первых двух типах плиток на странице 77 должна быть равна π, а не 2π) Все эти пять замощений были изоэдральными, то есть каждую из плиток можно было перевести в каждую другую обычным поворотом и переносом, без применения зеркального отражения.
Грюнбаум и Шефард показали, что существует ровно 24 типа различных изоэдральных замощений. Все эти 24 типа принадлежали к классам, описанным Рейнхардтом, но иногда требовали добавочных условий. Существует по два изоэдральных замощения для каждого набора из типа 2, и по одному для каждого из четырёх остальных. 15 из 18 остальных типов представляют собой специальные случаи замощения типа 1. 9 из 24 типов относятся к паркетам «ребро к ребру».
Группы симметрий рядом с картинками ниже приведены в .
Для плиток первого типа существует множество способов замощения плоскости ими. Ниже приведены пять топологически разных примеров замощения:
+ Замощение плитками типа 1p2 (2222)cmm (2*22)cm (*×)pmg (22*)pgg (22×)p2 (2222)cmm (2*22)p1 (°)p2 (2222)p2 (2222)Примитивная ячейка из 2 плитокПримитивная ячейка из 4 плитокB + C = 180°A + D + E = 360°a = c, d = eA + B = 180°, A + D + E = 360°a = cA + B = 180°, C + D + E = 360°a = eB + C = 180°, A + D + E = 360°d = c + eA = 90°, C + D = 180°2B + C = 360°B + E = 270°
Тип 2pgg (22×)p2 (2222)Примитивная ячейка из 4 плитокc = eB + D = 180°c = e, d = bB + D = 180°
Тип 3Type 4Type 5p3 (333)p31m (3*3)p4 (442)p4g (4*2)p6 (632)Примитивная ячейка из 3 плитокПримитивная ячейка из 4 плитокПримитивная ячейка из 6 плитокПримитивная ячейка из 18 плитокa = b, d = c + eA = C = D = 120°b = c, d = eB = D = 90°a = b, d = eA = 60°, D = 120°a = b = c, d = eA = 60°, B = 120°, C = 90°D = 120°, E = 150°
Типы 6,7,8 (Кершнер, 1968) Ричард Кершнер в 1968 году описал ещё три типа плиток. Он утверждал, что, кроме найденных теперь восьми типов, других не существует, но оказался не прав.
В типах 7 и 8 впервые появляются хиральные плитки (то есть для полного описания орбит симметрии впервые приходится использовать не только вращения, но и отражения). На картинке ниже пары хиральных плиток обозначены парами цветов (жёлтый, зелёный) и (синий, бледно-синий).
Все представленные ниже примеры 2-изоэдральны.
Type 6Type 6(Also type 5)Type 7Type 8p2 (2222)pgg (22×)pgg (22×)p2 (2222)p2 (2222)a = d = e, b = cB + D = 180°, 2B = Ea = d = e, b = cB = 60°, A = C = D = E = 120°b = c = d = eB + 2E = 2C + D = 360°b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°Примитивная ячейка из 4 плитокПримитивная ячейка из 4 плитокПримитивная ячейка из 8 плитокПримитивная ячейка из 8 плиток
Тип 10 (Джеймс, 1975) Изучив результаты Кершнера в колонке Мартина Гарднера «Математические игры» журнала Scientific American, Ричард Джеймс нашёл ещё один тип пятиугольников, который сейчас именуется типом 10.
Представленные здесь примеры 3-изоэдральны.
Type 10p2 (2222)cmm (2*22)a=b=c+eA=90, B+E=180°, B+2C=360°a=b=2c=2eA=B=E=90°, C=D=135°Примитивная ячейка из 6 плиток
Типы 9, 11, 12, 13 (Райс, 1977) Математик-любитель Марджори Райс в 1976 и 1977 году нашла ещё четыре типа плиток, подходящих для замощения.
Все четыре типа паркетов 2-изоэдральны. На картинке ниже пары хиральных плиток обозначены парами цветов (жёлтый, зелёный) и (синий, бледно-синий).
Из всех четырёх типов только тип 9 даёт замощение типа «ребро к ребру».
Примитивные ячейки везде содержат по 8 плиток.
Type 9Type 11Type 12Type 13pgg (22×)p2 (2222)b=c=d=e2A+C=D+2E=360°2a+c=d=eA=90°, 2B+C=360°C+E=180°2a=d=c+eA=90°, 2B+C=360°C+E=180°d=2a=2eB=E=90°, 2A+D=360°Примитивная ячейка из 8 плитокПримитивная ячейка из 8 плитокПримитивная ячейка из 8 плитокПримитивная ячейка из 8 плиток
Тип 14 (Стейн, 1985) Четырнадцатую мозаику нашёл Рольф Стейн в 1985 году. Найденное им замощение 3-изоэдрально и не относится к типу «ребро к ребру».
Более того, его замощение состоит из строго фиксированных плиток — никакой вариабельности через уравнения на углы, как в предыдущих типах, никаких степеней свободы здесь нет. Вот некоторые параметры этой фиксированной плитки:
Из этих значений можно легко вывести остальные.
Примитивная ячейка такого замощения содержит шесть плиток.
Type 14pgg (22×)2a=2c=d=eA=90°, B≈145.34°, C≈69.32°,D≈124.66°, E≈110.68°(2B+C=360°, C+E=180°).Примитивная ячейка из 6 плиток
Тип 15 (Манн, Маклауд, фон Дюрей, 2015) Исследователи из Вашингтонского университета в Ботелле, математики Кейси Манн, Джениффер Маклауд и Дэвид фон Дюрей в 2015 году, используя компьютерные вычисления, нашли пятнадцатый тип паркета. Их работа была опубликована в октябре 2015 года.
Эта мозаика не относится к типу «ребро к ребру». Она 3-изоэдральна (это обеспечивается двумя симметриями — поворотом на 180° относительно центра стыка светло-жёлтых плиток одной элементарной ячейки и зеркальным отражением относительно центра стыка светло-жёлтых плиток из двух разных элементарных ячеек). В мозаике есть хиральные плитки — на рисунке они обозначены парами цветов (жёлтый, светло-жёлтый), (синий, голубой), (красный, розовый). Примитивная ячейка содержит 12 плиток.
Так же, как паркет типа 14, этот паркет может быть построен из одной единственной плитки, никаких степеней свободы для изменения углов и длин сторон нет.
Type 15a=c=e, b=2a, d=aA=150°, B=60°, C=135°D=105°, E=90°Примитивная ячейка из 12 плиток
Непериодические паркеты Непериодические паркеты из пятиугольных плиток также существуют. Они имеют радиальную симметрию, то есть совпадают с собой после поворота на некоторый угол относительно центра.
Ниже мы будем говорить о замощении с радиальной симметрией порядка если оно совпадает с собой после поворота на относительно центральной точки.
В 2016 году Бернард Клаасен показал, что для любого существует непериодическое пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка . Его метод построения заключался в том, чтобы заполнять плоскость парами пятиугольников, состыкованных по одной стороне таким образом, что он образуют шестиугольник. Если один из углов пятиугольника равен и длины сторон подобраны правильным образом, то, начиная от тривиально состыкованных вокруг одной точки таких пятиугольников, можно предсказуемо заполнять окружающие их слои один за другим.
Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 5Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 6Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 7Пример замощения Клаасена для
Паркеты, двойственные однородным Существует три типа паркетов, двойственных однородным. Все эти паркеты относятся к типу «ребро к ребру». Симметрии в двойственных паркетах совпадают с симметриями в соответствующих однородных. Поскольку однородные паркеты изогональны, до двойственные им — изоэдральны.
cmm (2*22)p4g (4*2)p6 (632)Призматический пятиугольный паркетЭкземпляр типа 1Каирская пятиугольная мозаикаЭкземпляр типа 4Cairo pentagonal tiling generated by a pentagon type 4 query and by a pentagon type 2 tiling query on wolframalpha.com (caution: the wolfram definition of pentagon type 2 tiling does not correspond with type 2 defined by Reinhardt in 1918)Цветочная пятиугольная мозаикаЭкземпляр типов 1, 2 и 5120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4120°, 120°, 90°, 120°, 90°V3.3.4.3.4120°, 120°, 120°, 120°, 60°V3.3.3.3.6
Замощение плоскости несколькими плитками
Паркеты, двойственные k-однородным Другие k-однородные паркеты, все вершины которых имеют по пять исходящих рёбер, также имеют двойственные пятиугольные паркеты, но состоящие из нескольких разных плиток. Однако никаких других плиток кроме трёх, фигурирующих в обычных паркетах, двойственных однородным, в них не появляется.
Паркеты, двойственные k-однородному, являются k-изоэдральными.
Ниже для примера приведены пятиугольные паркеты, двойственные 2,3,4 и 5-однородным, а также отдельно (ниже каждого) — плитки, составляющие их.
2-изоэдральные3-изоэдральныеp4g (4*2)pgg (22×)p2 (2222) p6 (*632) 4-изоэдральные5-изоэдральныеpgg (22×)p2 (2222)p6m (*632) 5-изоэдральныеpgg (22×)p2 (2222)