Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной среды Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы , импульса и энергии .
При этом: первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени; второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами; третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил; правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме. При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой , а зарядом .
Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются: сохраняемость в замкнутых системах; аддитивность. Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.
Импульс является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность потока импульса полностью описывается девятью величинами: любая из трёх проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трёх пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):
, ,
где – количество -й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в -м направлении. – функция распределения частиц по скоростям. Половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:
В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:
и энергии:
.
А именно:
где: – плотность массы; – плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса; – среднемассовая скорость; – плотность энергии; – плотность потока энергии; – внутренняя энергия частицы; – внешняя сила, действующая на единицу объема газа; – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды). Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими: громоздкость; необходимость записи в трех проекциях; привязанность конкретно к декартовым координатам.
Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.
Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:
и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:
где – давление; – компонента тензора вязких напряжений Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.
В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.
Необходимость выбора Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:
1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.
2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.
Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.
Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.
Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.
Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:
- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;
- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.
Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.
Понятие тензора определенного ранга В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.
Тензором определенного ранга в -мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство (), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга является величина, которая полностью описывается элементами.
В таком случае: скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга; вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга. Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно: единственный элемент, из которого состоит скаляр , не требует индекса в записи значения; каждый из трех элементов вектора обозначается индексом , изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства; каждый из элементов тензора -го ранга обозначается индексами , изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо будем писать . В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.
Единичным тензором -го ранга есть тензор , в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице -го элемента.
В таком случае: : единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр); : единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).
Операции с тензорами Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.
Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр
Вектор равен сумме векторов и , если элемент вектора равен сумме соответствующих элементов векторов и :
1.1. .
Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор равен произведению вектора и скаляра , если элемент вектора равен произведению соответствующего элемента вектора и скаляра :
1.2. .
Тензор -го ранга равен сумме тензоров такого же ранга и , если элемент тензора равен сумме соответствующих элементов тензоров и :
1.3. .
Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор равен произведению тензора и скаляра , если элемент тензора равен произведению соответствующего элемента тензора и скаляра :
1.4. .
Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов
Вектор может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:
1.5. .
При этом нет смысла говорить о результате произведения – единственный смысл записи состоит в указании, что величине равен именно -й элемент вектора .
Тензор -го ранга может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:
1.6. .
При этом нет смысла говорить о результате произведения – единственный смысл записи состоит в указании, что величине равен именно -й элемент тензора .
Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора
"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:
1.7. .
"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:
1.8. .
Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты
Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.
Тензорным произведением тензора -го ранга и тензора -го ранга является тензор -го ранга , если -й элемент тензора равен произведению -го элемента тензора и -го элемента тензора :
1.9. .
Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).
С учетом (9) единичный тензор -го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:
1.10. .
Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:
1.11, ,
1.12. .
В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.
Правило 5. Произведение тензоров
Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения "", соответствующего трем различным случаям:
1.13. " ", " × ", " · ".