Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.
Названы в честь немецкого математика Эриха Келера.
Определения Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой.
Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.
Связь между определениями Пусть — эрмитова форма, — симплектическая форма и — почти комплексная структура. Согласуемость и означает, что форма:
является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:
Кэлеров потенциал На комплексном многообразии каждая порождает кэлерову форму
При этом функция называется кэлеровым потенциалом формы .
Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки кэлерова многообразия существует окрестность и функция такая, что . При этом называется локальным Кэлеровым потенциалом формы .
Примеры Комплексное евклидово пространство со стандартной эрмитовой формой. Каждая риманова метрика на ориентируемой поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость тривиальна в вещественной размерности два. Комплексное проективное пространство с метрикой Фубини — Штуди. Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии. В частности, любое и любое проективное алгебраическое многообразие. По теореме Кодайры о вложении кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая, вкладывается в проективное пространство. K3-поверхности Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу.
См. также Почти комплексного многообразия
Литература
Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
Категория:Кэлерова геометрия Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Симплектическая геометрия