LC-осциллятор — электрическая цепь, состоящая в простейшем случае из параллельно соединённых емкости, индуктивности и нелинейного сопротивления, вольт-амперная характеристика которого имеет отрицательную дифференциальную проводимость в области малых напряжений. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид
Если ВАХ нелинейного сопротивления аппроксимировать сокращенным полиномом третьего порядка , то при отрицательном коэффициенте , положительном и численном равенстве уравнение (1) совпадает с уравнением Ван дер Поля. В общем случае уравнение (1) не имеет аналитического решения. Существует возможность получения стационарного решения в квадратурах для частных случаев. Одним из них является аппроксимация ВАХ прямой, проходящей через начало координат, с изломом в точке таким образом, чтобы дифференциальная проводимость описывалась выражениемAndronov, A.A., Chaikin, C.E., Theory of Oscillations, Princeton University Press, Princeton, NJ, (1949)..
где , и — положительные константы. При система неустойчива, при и малых в системе возникают стационарные колебания, близкие по форме к гармоническим.
На отдельных интервалах периода колебания стационарное решение однородного уравнения (1) при имеет вид:
где , , , . Период колебания , момент времени , служащий границей интервалов, на которых рассматривается (1) и постоянные интегрирования , определяются из решения системы уравненийБирюков В. Н., Гатько Л. Е. «Точное стационарное решение уравнения автогенератора», Нелинейный мир, 10 (9),. 613—616, (2012)..
. Коэффициенты решения (1), полученные численно с ошибкой в последнем разряде при Гн, Ф, См, B и : ,B; ,B; ,B; ,B; ,с; , с.
В случае генерируемые колебания становятся релаксационными, решение ищется в виде суммы двух экспоненциальных функций, но константы решения определяются по-прежнему из условия непрерывности и в точках сшивания , и .
Дифференциальная проводимость может быть задана и иным образомPilipenko A. M., and Biryukov V. N. «Investigation of Modern Numerical Analysis Methods of Self-Oscillatory Circuits Efficiency», Journal of Radio Electronics, No 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html .
Примечания
Категория:Нелинейные системы Категория:Осцилляторы Категория:Дифференциальные уравнения