Теорема Дроз-Фарни — это свойство двух перпендикуляров, проходящих через ортоцентр произвольного треугольника. Линия, проходящая через — прямая Дроз-Фарни.
Формулировка Пусть — треугольник с вершинами , и , и пусть — его ортоцентр (точка пересечения трех его высот). Пусть и — любые две взаимно перпендикулярные линии, проходящие через . Пусть , и — три точки, в которых прямая пересекает стороны , и соответственно. Аналогично определяются , и . Теорема Дроз-Фарни утверждает то, что середины трех отрезков , и лежат на одной прямой (коллинеарны).A. Droz-Farny (1899), «Question 14111». The Educational Times, volume 71, pages 89-90,Jean-Louis Ayme (2004), «A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem». Forum Geometricorum, volume 14, pages 219—224, ISSN 15341178,
История Теорема сформулирована в 1899 году.J. J. O’Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.
Вариации и обобщения
Обобщение Горматига Обобщение теоремы Дроз-Фарни было доказано в 1930 году Рене Горматигом.René Goormaghtigh (1930), «Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg». Mathesis, volume 44, page 25. Как и выше, пусть — треугольник с вершинами , и . Пусть — любая точка, отличная от , и , и — любая прямая, проходящая через . Пусть , и — точки на , и соответственно, взятые таким образом, чтобы прямые , и были образами прямых , и соответственно при их отражении относительно прямой . Тогда теорема Горматига утверждает то, что точки , и коллинеарны. Теорема Дроз-Фарни является частным случаем этой теоремы, когда точка является ортоцентром треугольника .
Обобщение Дао Теорема была обобщена Дао Тхань Оайем. Обобщение выглядит следующим образом: Первое обобщение: Пусть точка на плоскости и пусть три параллельных отрезка таковы, что их середины и точка лежат на одной прямой. Тогда пересекаются соответственно в трех коллинеарных точках .Son Tran Hoang (2014), «A synthetic proof of Dao’s generalization of Goormaghtigh’s theorem.» Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125—129, ISSN 22845569 Второе обобщение: пусть — коника, а — точка плоскости. Проведем три прямые da, db, dc через точку , такие, что они пересекаются на конике соответственно A в точке A'; B в точке B'; C в точке C'. Пусть — точка на поляре точки относительно (S) или D лежит на конике (S). Пусть DA' ∩ BC =A0; DB' ∩ AC = B0; DC' ∩ AB= C0. Тогда A0, B0, C0 лежат на одной прямойNguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102—105, ISSN 22845569.Geoff Smith (2015). 99.20 A projective Simson line. The Mathematical Gazette, 99, pp 339—341. doi:10.1017/mag.2015.47O.T.Dao 29-July-2013, Two Pascals merge into one, Cut-the-Knot
Примечания
Ссылки Droz-Farny line theorem (Теорема_Дроз-Фарни) (англ. яз.)// https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Droz-Farny_line_theorem&action=edit
Категория:Евклидова геометрия Категория:Конические сечения Категория:Теоремы проективной геометрии Категория:Теоремы геометрии Категория:Геометрия треугольника