Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из в группу корней -й степени из единицы в локальном поле (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с законами взаимности, и может быть определён через символ Артина локальной теории полей классов. Символ Гильберта был введён в его Zahlbericht, с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта обобщается на высшие локальные поля.

Квадратичный символ Гильберта Пусть  — локальное поле, а  — его мультипликативная группа ненулевых элементов. Квадратичный символ Гильберта над  — это функция из в , определённая как

Свойства Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля : для любых . для любых . Для любого , такого что , верно, что Бимультипликативность, то есть

для любых . Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора , которая определяется как

По первому свойству он even factors над . Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебры Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над с базисом и правилами умножения , , .

Символы Гильберта над рациональными числами Для точки (англ. place) из поля рациональных чисел и рациональных чисел обозначим символ Гильберта в соответствующем пополнении . Как обычно, если это показатель, связанный с простым числом , то соответствующее пополнение является полем -адических чисел, а если является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, тогда и только тогда, когда или , и , если оба .

Над -адическими числами с нечётным положим и , где  — целые числа, взаимно простые с , тогда мы получим

, где

а  — символы Лежандра.

Над -адическими числами положим и , где  — нечётные числа, тогда мы получим

, where

Известно, что если пробегает все точки (англ. place), для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Радикал Капланского Символ Гильберта на поле определяется как отображение

где  — группа Брауэра поля . Ядро этого отображения — множество всех элементов таких, что для всех  — это радикал Капланского поля .Lam (2005) pp.450-451

Радикал является подгруппой , отождествляемой с подгруппой of . Радикал содержит группу, равную если и только если не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2.Lam (2005) p.451 С другой стороны, поле с радикалом называется полем Гильберта.Lam (2005) p.455

Символ Гильберта в общем случае Если локальное поле, содержащее группу корней -й степени из единицы для некоторого , взаимно простого с характеристикой , то символ Гильберта — это функция из в . Его можно выразить через символ Артина какNeukirch (1999) p.333

Свойства Символ Гильберта мультипликативен по обеим аргументам (билинеен):

кососимметричен:

невырожден: для всех тогда и только тогда, когда Он замечает норму (поэтому и называется символ норменного вычета): тогда и только тогда, когда  — норма элемента из Он обладает свойствами символа Штейнберга:

Закон взаимности Гильберта Закон взаимности Гильберта утверждает, что если лежат в поле алгебраических чисел, которое содержит корни -й степени из единицы, тоNeukirch (1999) p.334

где пробегает конечные и бесконечные простые числового поля, а  — это символ Гильберта в пополнении по . Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Символ степенного вычета Если  — числовое поле, содержащее корни -й степени из единицы,  — простой идеал, не делящий ,  — простой элемент локального поля от , а взаимно просто с , то символ степенного вычета , связанный с символом Гильберта соотношениемNeukirch (1999) p.336

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов по мультипликативности и определяется для элементов поля чисел, полагая , где  — главный идеал, порождённый . Закон взаимности Гильберта влечёт следующий закон взаимности для символа степенного вычета: для взаимно простых друг к другу и к :

Примечания

Литература

Ссылки на encyclopediaofmath HilbertSymbol на Mathworld

Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Теория полей классов Категория:Квадратичные формы