Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности .
Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем .
Как 3-многообразия Расслоение на окружности поверхностей является важным примером . Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.
Отношение к электродинамике Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что
Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция
,
имеем гомоморфизм
,
где является обратным образом. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.
Примеры Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности. Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности. Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением . Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения. Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из , получаем, что оно является главным расслоением . Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений согласуются с характеристическими классами . Например, рассмотрим аналитификацию комплексной плоской кривой
Поскольку и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком , имеет класс Чженя .
Классификация Классы изоморфности главных расслоений многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с отображений , где называется . Заметим, что является бесконечномерным , и что оно является примером . Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий многообразия M, поскольку . Этот изоморфизм реализуется . Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна , комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)
Расслоение на окружности является главным расслоением тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений . Это следует из расширения групп , где .
Комплексы Делиня
Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня , расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством , в то время как классифицирует линейные расслоения .
См. также Спектральная последовательность
Примечания
Литература
.
Категория:Расслоения Категория:Окружности