Ядерный метод

Ядерные методы в машинном обучении — это класс алгоритмов распознавания образов, наиболее известным представителем которого является метод опорных векторов (МОВ, ). Общая задача распознавания образов — найти и изучить общие типы связей (например, кластеров, ранжирования, главных компонент, корреляций, классификаций) в наборах данных. Для многих алгоритмов, решающих эти задачи, данные, представленные в сыром виде, явным образом преобразуются в представление в виде вектора признаков посредством специфичной схемы распределения признаков, однако ядерные методы требуют только задания специфичного ядра, т.е. функции сходства пар точек данных в сыром представлении.

Ядерные методы получили своё название из-за использования , которые позволяют им оперировать в неявном пространстве признаков высокой размерности без вычисления координат данных в пространстве, просто вычисляя скалярные произведения между образами всех пар данных в пространстве признаков. Эта операция часто вычислительно дешевле явных вычислений координат. Этот подход называется «ядерным трюком». Ядерные функции были введены для последовательных данных, , текстов, изображений, а также для векторов.

Среди алгоритмов, способных работать с ядрами, находятся , методы опорных векторов, гауссовские процессы, метод главных компонент (МГК, ), канонический корреляционный анализ, гребневая регрессия, спектральная кластеризация, линейные адаптивные фильтры и многие другие. Любая может быть переведена в нелинейную модель путём применения к модели ядерного трюка, заменив её признаки (предсказатели) ядерной функцией.

Большинство ядерных алгоритмов базируются на выпуклой оптимизации или нахождении собственных векторов и статистически хорошо обоснованы. Обычно их статистические свойства анализируются с помощью теории статистического обучения (например, используя ).

Причины возникновения и неформальное объяснение

Ядерные методы можно рассматривать как обучение на примерах — вместо обучения некоторым фиксированным наборам параметров, соответствующим признакам входа, они «запоминают» -й тренировочный пример и обучают согласно его весам . Предсказание для непомеченного ввода, т.е. не входящего в тренировочное множество, изучается при помощи функции сходства (называемой ядром) между непомеченным входом и каждым из тренировочных входов . Например, ядерный бинарный классификатор обычно вычисляет взвешенную сумму похожести по формуле

где

является ядерным бинарным классификатором предсказанной пометки для непомеченного входа , скрытая верная пометка которого нужна; является ядерной функцией, которая измеряет схожесть пары входов ; сумма пробегает по всем помеченным примерам в тренировочном наборе классификатора с ; являются весами тренировочных примеров, как определено алгоритмом обучения; Функция sgn определяет, будет предсказанная классификация положительной или отрицательной.

Ядерные классификаторы были описаны в начале 1960-х годов с изобретением ядерного перцептрона. Они получили большое распространение вместе с популярностью метода опорных векторов в 1990-х годах, когда обнаружили, что МОВ конкурентоспособна с нейронными сетями на таких задачах, как распознавание рукописного ввода.

Математика: ядерный трюк

Ядерный трюк избегает явного отображения, которое нужно для получения линейного обучающего алгоритма для нелинейной функции или . Для всех и во входном пространстве некоторые функции могут быть представлены как скалярное произведение в другом пространстве . Функцию часто называют ядром или ядерной функцией. Слово «ядро» используется в математике для обозначения весовой функции или интеграла.

Некоторые задачи машинного обучения имеют дополнительную структуру, а не просто весовую функцию . Вычисления будут много проще, если ядро можно записать в виде "отображения признаков" , которое удовлетворяет равенству

Главное ограничение здесь, что должно быть подходящим скалярным произведением. С другой стороны, явное представление для не обязательно, поскольку является пространством со скалярным произведением. Альтернатива следует из — неявно заданная функция существует, если пространство может быть снабжено подходящей мерой, обеспечивающей, что функция удовлетворяет .

Теорема Мерсера подобна обобщению результата из линейной алгебры, которое связывает скалярное произведение с любой положительно определённой матрицей. Фактически, условие Мерсера может быть сведено к этому простому случаю. Если мы выбираем в качестве нашей меры считающую меру для всех , которая считает число точек внутри множества , то интеграл в теореме Мерсера сводится к суммированию

Если это неравенство выполняется для всех конечных последовательностей точек в и всех наборов вещественнозначных коэффициентов (сравните, ), тогда функция удовлетворяет условию Мерсера.

Некоторые алгоритмы, зависящие от произвольных связей, в исходном пространстве будут, фактически, иметь линейное представление в других условиях — в ранжированном пространстве . Линейная интерпретация даёт нам представление об алгоритме. Более того, часто нет необходимости вычислять прямо во время вычислений, как в случае метода опорных векторов. Некоторые считают уменьшение времени за счёт этого главным преимуществом алгоритма. Исследователи используют его для уточнения смысла и свойств существующих алгоритмов.

Теоретически, матрица Грама по отношению к (иногда называемая «ядерной матрицей»), где , должна быть положительно полуопределена. Эмпирически, для эвристики машинного обучения, выбор функции , которая не удовлетворяет условию Мерсера, может оставаться оправданным, если , по меньшей мере, аппроксимирует интуитивную идею похожести. Независимо от того, является ли ядром Мерсера, о могут продолжать говорить как о «ядре».

Если ядерная функция является также , что используется в гауссовском процессе, тогда матрица Грама может быть названа ковариационной матрицей.

Приложения

Области применения ядерных методов разнообразны и включают геостатистику, кригинг, , трёхмерную реконструкцию, биоинформатику, хемоинформатику, извлечение информации и распознавание рукописного ввода.

Ядерный метод

Źródło i licencja