Конформная группа евклидова пространства — это группа преобразований пространства в себя с сохранением углов. Более формально, это группа преобразований, сохраняющая пространства.
Некоторые конкретные конформные группы особенно важны: Конформная ортогональная группа. Если V — векторное пространство с квадратичной формой Q, то конформная ортогональная группа является группой линейных преобразований T пространства V, таких что существует скаляр , такой что для каждого x из V
Для знакоопределённой квадратичной формы (то есть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой) конформная ортогональная группа равна ортогональной группе, умноженной на группу растяжений.
Конформная группа сферы порождается инверсиями относительно окружностей. Эта группа известна также как группа Мёбиуса. В евклидовом пространстве , , конформная группа порождается инверсиями относительно гиперсфер. В псевдоевклидовом пространстве конформной группой является .
Все конформные группы являются группами Ли.
Анализ углов В евклидовой геометрии естественной характеристикой является стандартный угол, но в псевдоевклидовом пространстве существует также . В специальной теории относительности различные системы отсчёта, движущиеся с переменной скоростью относительно покоящейся системы, связаны между собой быстротой, гиперболическим углом. Один из способов описать лоренцев буст — это , которое сохраняет разность гиперболических углов (быстрот). аким образом, бусты являются конформными преобразованиями относительно гиперболического угла..
Один из подходов к построению соответствующей конформной группы заключается в подражании группе Мёбиуса, которая является конформной группой обычной комплексной плоскости. Псевдоевклидова геометрия соответствует альтернативным комплексным плоскостям, где точками являются двойные числа вместо обычных комплексных чисел. Подобно тому как для полного описания группы Мёбиуса необходима компактификация плоскости в сферу Римана, так и альтернативные комплексные плоскости требуют компактификации для исчерпывающего описания конформных отображений. В каждом из этих случаев конформная группа задается дробно-линейными преобразованиями на соответствующей плоскости .
Конформная группа пространства-времени В 1908 году два молодых исследователя из Ливерпульского университета, Гарри Бейтмен и Эбенезер КаннингемВ книге Косякова — Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингхем, впервые предложили идею конформной группы пространства-времени (теперь обычно обозначаемую как ). Они утверждали, что кинематические группы конформны, поскольку они сохраняют квадратичную форму пространства-времени и тем самым родственны ортогональным преобразованиям, рассматриваемым как . Степени свободы электромагнитного поля не ограничиваются кинематическими движениями, а лишь должны быть локально пропорциональны преобразованию, сохраняющему квадратичную форму. В своей статье Гарри Бейтмен в 1910 году изучает матрицу Якоби преобразования, которое сохраняет световой конус и показывает, что преобразование обладает свойством конформности. Бейтмен и Каннингем показали, что эта конформная группа является «наибольшей группой преобразований, оставляющих уравнения Максвелла структурно инвариантными».
Исаак Моисеевич Яглом внёс вклад в математику пространства-времени, рассмотрев конформные преобразования в двойных числах. Поскольку двойные числа обладают свойствами кольца, но не поля, дробно-линейные преобразования требуют от быть биективным отображением.
Традиционно, начиная с работы Людвика Зильберштейна (1914), для представления группы Лоренца используется кольцо бикватернионов. Для конформной группы пространства-времени достаточно рассматривать дробно-линейные преобразования на проективной прямой над этим кольцом. Элементы конформной группы пространства-времени названы Бейтменом . Конкретное исследование квадратичной формы пространства-времени вобрала в себя .
Примечания
Литература
Первое издание 1974
Литература для дальнейшего чтения
Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — Изд-во URSS. 2018. 491 с
Категория:Теория групп Категория:Конформная геометрия