Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел:
Общая формула. для -го по порядку октаэдрального числа :
Первые из октаэдральных чисел ():
Рекуррентная формула:
Производящая функция последовательности:
Связь с фигурными числами других типов Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами :
Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.
Ещё один вид связи:
Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.
Связь с тетраэдральными и кубическими числами:
Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число:
Гипотеза Поллока В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение, что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего: 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых; — последнее число, требующее шесть слагаемых; — последнее число, требующее пять слагаемых. Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых..
Применение В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»)...
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Фигурные числа