Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.
Соответствующее диофантово уравнение записывается как Необходимое условие для представимости числа в виде суммы трёх кубов: при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5.
В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.
История Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для — в 1908 году А. С. Веребрюсов (учитель математики Феодосийской мужской гимназии, сын С. И. Веребрюсова), для — в 1936 году Малер.
Решения Необходимое условие для представимости числа в виде суммы трёх кубов: при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5; так как куб любого целого числа при делении на 9 даёт остаток 0, 1 или 8, то сумма трёх кубов при делении на 9 не может дать остатка 4 или 5. Неизвестно, является ли это условие достаточным.
В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое , не дающее остатка 4 или 5 при делении на 9, имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубов.
Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придётся искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно.
Случай , представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примером.
Небольшие числа Для существуют только тривиальные решения
Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.
Для и существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):
Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1. Для 2 другими известными представлениями являются
Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов.
Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени. Даже в случае представлений Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений
и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine:
Остальные числа С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера.
В 1955 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100: threecubes , Daniel J. Bernstein. В 1992 году Хит-Браун () и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966.
Elsenhans и Jahnel в 2009 году использовали метод Элкиса, применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения для положительных не больше 1000 и для , затем Хёйсман в 2016 году расширил поиск до .
Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным , а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795:
В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity Engine:
Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 :
А затем 165:
На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 7 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975.
Наименьший нерешённый случай — .
Варианты Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с проблемой Варинга. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачи. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную асимптотическую плотность, хотя Тревор Вули показал, что таким образом возможно представить чисел в интервале от до . Плотность не более .
Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов рациональных чисел.
См. также Задача о четырёх кубах Проблема Варинга
Примечания
Ссылки Solutions of for , Hisanori Mishima threecubes, Daniel J. Bernstein Sums of three cubes, Mathpages The Uncracked Problem with 33, Timothy Browning on Numberphile 42 is the new 33, Andrew Booker on Numberphile
Категория:Открытые математические проблемы Категория:Диофантовы уравнения Категория:Аддитивная теория чисел