«Нача́ла» (, ) — главный труд Евклида, написанный около 300 года до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии и теории чисел. Считается вершиной античной математики, итогом её трёхсотлетнего развития и основой для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудами Автолика из Питаны — древнейшее из дошедших до современности античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.
«Начала» оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени, высокий интеллектуальный уровень произведения и его фундаментальная значимость для науки в целом отмечается ключевыми учёными современности«Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рождён для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением». Эйнштейн А.. Физика и реальность. М.: 1965, c. 62.. Книга переведена на множество языков мира, по количеству переизданий «Начала» не имеют себе равных среди светских книг.
История Прокл сообщает (ссылаясь на Евдема), что подобные сочинения создавались и до Евклида: «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.
Текст «Начал» на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев сохранился текст ПроклаПрокл Диадох. Ком. к Euclid I. Введение. Перевод Ю. А. Шичалина , являющийся важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В нём Прокл даёт краткое изложение истории греческой математики (так называемый «Евдемов каталог геометров»), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах. Среди древних комментаторов — Теон Александрийский, Папп Александрийский; основные комментаторы эпохи Возрождения — Пьер де ла Рамэ«Р. Rami Scholarum mathematicarum libri unus et triginta» (Франкфурт, 1559; Базель, 1569), Федериго Коммандино«Euclidis Elementorum libri XV una cum scholiis antiquis» (1572), Христоф Шлюссель (Клавиус)«Euclidis elementorum libri XVI cum scholiis» (1574) и Генри Савиль.
Содержание В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, теория чисел, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.
Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, ссылка «» — второе определение первой книги. Всего в 13 книгах «Начал» 130 определений, 5 постулатов, 5 (в части изданий — 9) аксиом, 16 лемм и 465 теорем (включая задачи на построение).
Первая книга Первая книга начинается определениями, из которых первые семь () гласят:
Точка есть то, что не имеет частей. ( — букв. «Точка есть то, часть чего ничто») Линия — длина без ширины. Края же линии — точки. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. () Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Края же поверхности — линии. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.
Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, в частности, таков подход в «Основаниях геометрии» ГильбертаГильберт Д. Основания геометрии. М.—Л.: ОГИЗ, 1948. Сочинение начинается словами: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем , , …».
За определениями Евклид приводит постулаты ():
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг. Все прямые углы равны между собой. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Последний постулат аксиоматики Евклида — знаменитый пятый постулат — среди других, интуитивно очевидных, постулатов, выглядит чужеродным. Его громоздкая формулировка вызывает некоторое чувство протеста, желание отыскать для него доказательство и исключить из числа аксиом. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.
За постулатами следуют аксиомы (), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:
Равные одному и тому же равны и между собой. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. (И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.) (И удвоенные одного и того же равны между собой.) (И половины одного и того же равны между собой.) И совмещающиеся друг с другом равны между собой. И целое больше части. (И две прямые не содержат пространства.)
В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. Постулаты 4—5 () в ряде списков выступают как аксиомы ().
За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так, вторая из них () предлагается «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует третий постулат () в неожиданно узком смысле.
При доказательстве четвёртой теоремы (), выражающей признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашёл ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам () аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, четвёртый постулат () теперь принято доказывать, как это сделал впервые Христиан ВольфCh. Wolfius. Compedium elementaris Matheseos. Venetiis, 1713; см. также комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к «Началам» Евклида, кн. 1—6 (М.-Л., 1950, стр. 242), у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтностиД. Гильберт. Основания геометрии, теорема 21..
Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.
Книги II—XIII
II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».
III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах.
IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников.
V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.
VI книга — учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию.
VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Евклид в качестве чисел рассматривает исключительно натуральные числа; для него «Число есть совокупность единиц». Здесь излагаются теория делимости и пропорций, доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся чётные совершенные числа. Евклид доказывает также формулу для суммы геометрической прогрессии.
X книга — классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».
XI книга — начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, объём параллелепипеда и призмы, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.
XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания. Здесь доказывается, например, теорема о том, что объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.
XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.
Евклид нигде в книге не ссылается на других греческих математиков, хотя несомненно опирается на их результаты. Историки наукиВан дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. показали, что прототипом для труда Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков: Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского. Книги V—VI и XII — труды Евдокса Книдского. Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев. По мнению Ван дер Вардена, это самая древняя по содержанию часть «Начал», восходящая к V веку до н. э. Книги X и XIII — труды Теэтета Афинского. Вопрос о том, содержат ли «Начала» какие-либо результаты самого Евклида или автор занимался только систематизацией и унификацией накопленных знаний, является предметом дискуссий. Есть предположение, что алгоритм построения правильного пятнадцатиугольника разработан Евклидом; вероятно, он же произвёл отбор и окончательную формулировку аксиом и постулатов.
В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда — например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности, теория приближённых вычислений.
Взаимозависимости книг Номер книги Зависимость от других книг 1 Самостоятельна 2 Опирается на книгу 1 3 Опирается на книгу 1 и предложения 5, 6 книги 2 4 Опирается на книги 1, 3 и на предложение 11 книги 2 5 Самостоятельна 6 Опирается на книги 1, 5 и на предложения 27 и 31 книги 3 7 Самостоятельна 8 Опирается на определения из книг 5, 7 9 Опирается на книги 7, 8 и на предложения 3, 4 книги 2 10 Опирается на книги 5, 6; предложения 44, 47 из книги 1предложение 31 из книги 3предложения 4, 11, 26 из книги 7предложения 1, 24, 26 из книги 9 11 Опирается на книги 1, 5, 6, предложение 31 из книги 3 и предложение 1 из книги 4 12 Опирается на книги 1, 3, 5, 6, 11, предложения 6, 7 из книги 4 и предложение 1 из книги 10 13 Опирается на книги 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11 и на предложение 4 из книги 2
Критика Для своего времени и вплоть до (примерно) XIX века «Начала» считались образцом логического изложения математической теории. Структура трудов Декарта, Ньютона и Спинозы строилась по образцу «Начал». Однако уже в античные времена были критически отмечены некоторые недостатки евклидовского труда — например, Архимед обосновал необходимость добавить «аксиому Архимеда» (которую сформулировал ещё Евдокс, живший до Евклида). Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось. Современные взгляды на обоснование, содержание и методы как геометрии, так и арифметики существенно отличаются от античных.