Гипотезы Тэйта — это три гипотезы, высказанные математиком XIX века Питером Гатри Тэйтом при изучении узлов. Гипотезы Тэйта вовлекают концепции из теории узлов, такие как альтернированные узлы, хиральность и число закрученности. Все гипотезы Тэйта доказаны, последней была гипотеза о переворачивании.
Предпосылки
Тэйт пришёл к своим гипотезам в конце XIX века после попыток все узлы. Как у основателя теории узлов, его работа не обладала строгим математическим обоснованием, и не совсем понятно, распространял ли он свои гипотезы на все узлы, или только на альтернированные. Оказалось, что большинство из них верны только для альтернированных узлов. В гипотезах Тэйта диаграмма узла называется «сокращённой», если все «перешейки» или «тривиальные перекрещивания» удалены.
Число пересечений альтернированных узлов Тэйт предположил, что при некоторых обстоятельствах число пересечений является инвариантом узла, в частности: Любая сокращённая диаграмма альтернированного зацепления имеет наименьшее возможное число пересечений. Другими словами, число пересечений сокращённого альтернированного зацепления является инвариантом узла. Эту гипотезу доказали Луис Кауффман, Кунио Мурасуги (村杉 邦男) и Морвен Б. Тистлетвэйт в 1987 году с помощью многочлена Джонса.
Геометрическое доказательство, не использующее многочлены узла, дал в 2017 году Джошуа Гриин.
Число закрученности и хиральность Вторая гипотеза Тэйта: Амфихаральное (или ахиральное) альтернированное зацепление имеет нулевое число закрученности. Эту гипотезу также доказали Кауффман и Тистлетвэйт.
Перевёртывание
Гипотезу Тэйта о перевёртывании можно сформулировать так: Если даны две сокращённые альтернированные диаграммы и ориентированного простого альтернированного зацепления, то диаграмма может быть преобразована в путём последовательности некоторого вида операций, называемых Гипотезу Тэйта о перевёртывании доказали Тистлетвэйт и Уильям Менаско в 1991 году. Из гипотезы Тэйта о перевёртывании вытекает несколько других гипотез Тэйта: Любые две сокращённые диаграммы одного и того же альтернированного узла имеют одинаковое число закрученности. Это следует из того, что перевёртывание сохраняет число закрученности. Этот факт доказали ранее Мурасуги и Тистлетвэйт. Это также следует из работы Гриина. Для неальтернированных узлов эта гипотеза не верна и пара Перко является контрпримером.
Из этого результата следует также следующая гипотеза: Альтернированные амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений. Это следует из того, что зеркальный узел имеет противоположное число закрученности. Эта гипотеза снова верна только для альтернированных узлов — существует неальтернированный амфихиральный узел с числом пересечений 15.
См. также Простой узел
Примечания
Литература
Категория:Доказанные математические гипотезы Категория:Теория узлов