Обобщённое распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе, наряду с гауссовским распределением, играет важную роль в арифметике вероятностных распределений.Parthasarathy K. R., Ranga Rao R., Varadhan V. S. Probability distributions on locally compact Abelian groups // Illinois Journal of Mathematics. — 1963. — Vol. 7. — P. 337–369. — doi:10.1215/ijm/1255644642., см. также Parthasarathy K. R. Probability measures on metric spaces. — New York; London: Academic Press, 1967. — (Probability and Mathematical Statistics; Vol. 3). — ISBN 978-0125463505.
Пусть — локально компактная абелева группа, ее группа характеров, — значение характера на элементе . Пусть — конечная неотрицательная мера на . Обобщенным распределением Пуассона, ассоциированным с мерой , называется сдвиг распределения вида
где − вырожденное распределение, сосредоточенное в нуле группы .
Распределение — безгранично делимо. Характеристическая функция распределения имеет вид
Разложения обобщённого распределения Пуассона изучались в Фельдман Г. М. О разложении обобщённого распределения Пуассона на группах // Теория вероятностей и её применения. — 1982. — Т. 27, № 4. — С. 725—738. — doi:10.1137/1127087. и Фельдман Г. М. Обобщённое распределение Пуассона класса I₀ на группах // Теория вероятностей и её применения. — 1984. — Т. 29, № 2. — С. 222—233. — doi:10.1137/1129034., см. также Fel'dman G. M. Arithmetic of Probability Distributions and Characterization Problems on Abelian Groups. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1993. — (Translations of Mathematical Monographs, Vol. 116). — ISBN 978-0821845810.. В частности, справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть — локально компактная абелева группа, — конечная неотрицательная мера на . Если меры и взаимно сингулярны для любых натуральных , то все делители обобщённого распределения Пуассона также обобщённые распределения Пуассона, т.е. не имеет неразложимых делителей.
Примечания
Категория:Теория вероятностей Категория:Распределения вероятностей