Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством ДиофантаMarc Chamberland: Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press, 2015, , p. 60Шенкс, Дэниел, Solved and unsolved problems in number theory, p.209, American Mathematical Society, Fourth edition 1993. — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):
В терминах общей алгебры, это тождество, в частности, означает, что множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения.
Пример:
История Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. Диофантом Александрийским в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). Индийский математик и астроном Брахмагупта в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр :
Брахмагупта описал тождество в трактате («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения уравнения Пелля (ниже)
В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» (Liber quadratorum) Фибоначчи (1225 год).
Комплексное представление Пусть — комплексные числа. Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству комплексного модуля:
В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:
или согласно определению модуля:
Применения
Решение уравнения Пелля Как уже говорилось выше, Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении уравнения Пелля:
где — натуральное число, не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение уравнения, затем записывал тождество в следующем виде:
Отсюда видно, что если тройки и образуют решение уравнения x2 − Ay2 = k, то можно найти ещё одну тройку
и т. д., получая бесконечный ряд решений.
Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году Бхаскарой II (метод «чакравала»), также опирается на тождество Брахмагупты.
Разложение целого числа на сумму двух квадратов В сочетании с теоремой Ферма — Эйлера, тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество простых чисел вида представимо в виде суммы квадратов.
Вариации и обобщения Изначально тождество применялось к целым числам, однако оно справедливо в любом коммутативном кольце или в поле, например, в кольце многочленов или в поле комплексных чисел.
Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай тождества четырёх квадратов Эйлера или . Тождество четырёх квадратов применимо также к кватернионам, а аналогичное тождество восьми квадратов — к октонионам.
Примечания
Литература
Ссылки Brahmagupta's identity at PlanetMath Brahmagupta Identity on MathWorld A Collection of Algebraic Identities
Категория:Брахмагупта Категория:Тождества Категория:Элементарная алгебра Категория:Диофантовы уравнения