Уравнение в функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных. Применяется в функциональном анализе и теоретической физике (уравнение Швингера — Томонаги, уравнения Швингера).
Обыкновенное уравнение в функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных из уравнения в полных дифференциалах:
(1),
где: и коэффициенты являются функциями от переменных .
При переходе к пределу в уравнении (1) сумма превратится в интеграл и оно примет вид:
(2),
где: - неизвестный функционал от функции , - переменная интегрирования.
При помощи понятия функциональной производной это уравнение можно записать в виде:
(3),
где: - функциональная производная.
Если семейство функций принадлежит пространству и зависит от числового параметра, то уравнение в функциональных производных превращается в дифференциальное уравнение первого порядка, которое удобно решать методом последовательных приближений.
Если функционал зависит не только от функции , но и от одного или нескольких числовых параметров, то уравнение в функциональных производных превращается в интегро-дифференциальное уравнение, для решения которого также можно использовать метод последовательных приближений.
Примечания
Литература
Категория:Функциональный анализ *