Коварианты Фробениуса квадратной матрицы — специальные многочлены, а именно проекторы , связанные с собственными значениями и векторами матрицы . Коварианты названы именем немецкого математика Фердинанда Фробениуса.
Каждый ковариант является проектором на собственное пространство, связанное с собственным значением . Коварианты Фробениуса являются коэффициентами формулы Сильвестра, которая выражает матричную функцию как матричный многочлен.
Формальное определение Пусть будет диагонализируемой матрицей с собственными значениями .
Ковариант Фробениуса для — это матрица
По существу, это многочлен Лагранжа с матрицей в качестве аргумента. Если собственное значение простое, то, как матрица проецирования, не меняющая одномерного пространства, имеет единичный след.
Вычисление ковариантов
Коварианты Фробениуса матрицы могут быть получены из любого спектрального разложения матрицы , где не вырождена, а — диагональная матрица с . Если не имеет кратных собственных значений, то пусть будет -м правым собственным вектором матрицы , то есть -м столбцом матрицы . Пусть будет -м левым собственным вектором (-й строкой матрицы ). Тогда .
Если имеет кратное собственное значение , то , где суммирование ведётся по всем строкам и столбцам, связанным с собственным значением .
Пример Рассмотрим матрицу
Матрица имеет два собственных значения: и . Следовательно, .
Соответствующее собственное разложение есть
Следовательно, коварианты Фробениуса, явственно являющиеся проекторами, есть
при этом
Заметим, что , что и требуется.
Примечания
Литература
Категория:Матрицы