Цепна́я ли́ния, также катенария, — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.
Уравнение линии в декартовых координатах:
(о функции см. гиперболический косинус).
Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси . Переменная графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии. Значение этой ординаты равно значению . Если значение параметра меньше нуля, то мы имеем не провисающую цепь, а арку.
Параметр имеет физический смысл. Это отношение горизонтальной проекции силы, растягивающей цепь, к удельному (линейному) весу цепи.
Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.
Свойства
Мыльная плёнка, натянутая на два соосных параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии. Длина дуги от вершины до произвольной точки :
Радиус кривизны:
Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:
Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линияСавёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.. Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии.
Применения
Арки
Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба.
Мосты Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.
Стоит заметить, что форма изгиба тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что основной вес моста распределён в полотне моста, а не в поддерживающих тросах.
Квадратные колёса Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на , ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги.
История Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли.
Дополнительные факты На арке «Ворота на запад» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах:
Выраженное в метрах, это уравнение будет
См. также Фонтан из цепочки
Примечания
Литература
Категория:Трансцендентные кривые