Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .
Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).
Доказательство Поделим с остатком многочлен на двучлен :
где — остаток. Так как , то — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за . Подставляя , поскольку , имеем .
Следствия Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на двучлен (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения ). Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми). Пусть — целый корень приведённого многочлена с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого число кратно .
Приложения Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.
См. также Основная теорема алгебры
Литература Винберг Э. Б. Курс алгебры, — : Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7. Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.
Категория:Многочлены Безу