В статистике локальная асимптотическая нормальность — это свойство последовательности статистических моделей, которое позволяет асимптотически аппроксимировать эту последовательность нормальной моделью сдвига, после необходимого масштабирования параметра. Выборка из независимых и одинаково распределённых наблюдений в рамках регулярной параметрической модели — это важный пример выполнения локальной асимптотической нормальности.
Понятие локальной асимптотической нормальности ввёл в 1960 году; локальная асимптотическая нормальность — основополагающее понятие в .
Определение
Последовательность параметрических статистических моделей является локально асимптотически нормальной в , если существуют матрицы и , а также случайный вектор такие, что для каждой сходящейся последовательности : , здесь производная это производная Радона — Никодима для формализации отношения правдоподобия, а — это o-малое в вероятностном обозначении. Другими словами локальное отношение правдоподобия сходится по распределению к нормальной случайной величине, чьё среднее равно половине дисперсии со знаком минус: .
Последовательности распределений и — .
Пример
Самый простой пример локальной асимптотической нормальной модели следующий: модель с независимыми и одинаково распределёнными наблюдениями, чья функция правдоподобия дважды непрерывно дифференцируема. Предположим, что — выборка (независимая и одинаково распределённая), где у каждого есть функция плотности . Функция правдоподобности модели равна . Если дважды непрерывно дифференцируема, то .
Подставляя , получаем:
По центральной предельной теореме первая часть (в скобочках) сходится по распределению к нормальной случайной величине , в то время как выражение во вторых скобочках по закону больших чисел сходится по вероятности к информационной матрице Фишера : . Таким образом, определение локальной асимптотической нормальности удовлетворено и мы подтвердили, что параметрическая модель с дважды непрерывно дифференцируемой функцией правдоподобия и с независимыми и одинаково распределёнными наблюдениями обладает свойством локальной асимптотической нормальности.
См. также Асимптотическое распределение
Примечания
Литература