Эволюция Шрамма-Лёвнера (ЭШЛ, Schramm-Loewner evolution – SLE) – однопараметрическое семейство непересекающихся путей, демонстрирующих конформную инвариантность, которые могут быть получены из броуновского движения, коэффициент диффузии которого соответствует параметру ЭШЛ, .
Терминология Эволюция Шрамма–Лёвнера с параметром в теории вероятности известна как стохастическая эволюция Лёвнера (). Она представляет собой семейство случайных плоских кривых, которые являются пределом масштабирования для множества двумерных решётчатых моделей в статистической механике.
История В 2000-м году израильско-американским математиком Одедом Шраммом была предложена модель, получившая название эволюции Шрамма-Лёвнера (ЭШЛ). Одед Шрамм объединил конформное отображение (непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур) со стохастическими процессами (процессы, описывающие изменения одной или нескольких величин при наличии неопределенности) в процесс, теперь известный как эволюция Шрамма-Лёвнера (ЭШЛ).
Эволюция Шрамма-Лёвнера и перколяция Случайные ландшафты использовались для моделирования разнообразных свойств природных систем, в частности для моделирования температуры поверхности моря, для моделирования глубины океана или моделирования высоты суши над уровнем моря. Де Кастро и др. отмечают также применение случайных ландшафтов для моделирования полей завихренности плазмы. Как правило, такие поверхности имеют корреляции, а в некоторых случаях — дальние корреляции, которые характеризуются показателем Хёрста, . Недавно было обнаружено, что линии изовысоты на пороге перколяции случайной поверхности с дальней корреляцией обладают масштабной инвариантностью с фрактальной размерностью , которая зависит от . Однако остаётся неясным, обладают ли эти кривые более сложной симметрией, такой как конформная инвариантность.
Исследование де Кастро и др. основывалось на оценке коэффициента с помощью управляющей функции. Де Кастро и др. отмечают, что ими использовался зиппер-алгоритм, однако не приводят ссылки на конкретную реализацию зиппер-алгоритма. Также у де Кастро делается оценка коэффициента при логарифме размера решётки () для дисперсии угла поворота кривой ЭШЛ.
Де Кастро и др. заметили, что двумерная задача перколяции может рассматриваться как протекание в некотором ландшафте с дальнодействующими корреляциями высота-высота, определяемыми показателем Хёрста , и внешний периметр перколяционного кластера для коррелированных поверхностей оказывается статистически эквивалентным кривым ЭШЛ при .
В исследовании И. И. Гордеева и Е. С. Сосновской (Орловой) показано, что можно вывести зависимость параметра ЭШЛ от показателя Хёрста :
Список литературы
SLE for theoretical physicists // . 2005. Vol. 318. P. 81–118. https://doi.org/10.1016/j.aop.2005.04.001.
Примечания
Категория:Комплексный анализ Категория:Случайные процессы