Рациона́льная фу́нкция (), или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.
Формальное определение
Рациональная функция, или дробно-рациональная функция, или рациональная дробь — это числовая функция вида
где — комплексные () или вещественные () числа, — рациональное выражение от . Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень).
Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов и :
где Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов и : и .
Частные случаи Целая рациональная функция — функция вида
где переменная действительна.
Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:
Преобразование Кэли
Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного
имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским.
Обобщения Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)
где . Абстрактные рациональные функции
где — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, и — числовые коэффициенты.
Вещественная рациональная функция
Несократимая рациональная дробь Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем.
Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике.
Сначала докажем, что если произведение многочленов и делится на , причём и взаимно просты, то делится на .
1. Известно, что многочлены и взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены и , что
2. Умножим это равенство на :
3. Оба слагаемых этого равенства делятся на , следовательно, также делится на .
Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя.
1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.
2. Далее, если две несократимые дроби равны:
то есть
то: из взаимной простоты и следует, что делится на ; из взаимной простоты и следует, что делится на . В итоге получаем, что
3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:
или
Итак, получили, что
Правильная рациональная дробь
Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби.
Докажем последнее утверждение.
1. Для любой рациональной дроби , поделив числитель на знаменатель, получим:
причём степень меньше степени Поделим обе части равенства на , получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:
2. Докажем единственность этого представления. Если имеет место также следующее равенство:
где также степень меньше степени , то произведём вычитание:
3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень меньше степени , а степень меньше степени , то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда и
Простейшая рациональная дробь Правильная рациональная дробь простейшая, если её знаменатель представляет собой степень неприводимого многочлена :
а степень числителя меньше степени . Существуют две теоремы. Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей. Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.
Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей
Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например: при интегрировании; при разложении в ряд Тейлора; при разложении в ряд Лорана; при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дроби.
Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь где:
Решение. 1. Легко проверить, что
причём неприводимы.
2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:
Осталось найти числа , и
3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:
Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными , и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.
4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве получаем откуда Полагая получаем то есть Полагая независимо и получаем систему
Отсюда Положим получаем Возникает система
откуда Таким образом,
Свойства Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией. Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.
Правильные дроби Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.
См. также Целая рациональная функция Рациональное число Рациональное уравнение Наипростейшая дробь Египетские дроби Список интегралов от рациональных функций
Примечания
Источники
Категория:Типы функций Категория:Элементарные функции Категория:Дроби